Extension de la niétliode de Laplace 159 

 d z 



z = a„ 



le rang de la X-intégrale correspondant à est diminué d'une unité. Si nous 

 appliquons une transformation {t^ à une équation (26) qui admet les ,ç X-intégrales 

 (29), nous obtiendrons les mêmes résultats que pour l'équation (20) (voir les propo- 

 sitions 4 et 5), et de la même manière. Il en résulte que la condition nécessaire et 

 suffisante pour que les h X-intégrales (29) de l'équation (26) ne puissent être rem- 

 placées par des X-intégrales de rang inférieur à Wj + 1> \, ... nu-\- \ est 

 qu'aucune relation de la forme 



y; yj^mh=^ 



/ = 1 1 = 0 



n'existe. Ensuite il en résulte aussi que, lorsque l'équation (26) admet X-intégrales 

 distinctes (29) qui ne peuvent être remplacées par des X-intégrales de rang inférieur 



à OTj -|- 1, m, + 1, ... -|- 1, l'équation (26) peut être ramenée, à l'aide de S (wi + 1) 



transformations (<,), convenablement eboisies, à une équation de la forme 



(/i = S^(«î,- -f 1)) 



Mais, si g > 1, la transformation {t^ n'est pas complètement déterminée; a^, est 

 assujettie à la seule condition 



et nous ne pouvons pas d'avance choisir celles des transformations [t^ par lesquelles 

 l'ordre de l'équation pourra être diminué. 



Les transformations [t^, ((J, ... (if,,) de l'équation (26) sont définies de la même 

 manière que ces transformations de l'équation (20) (voir page 35). La transforma- 

 tion complètement déterminée (/^) 



sera aussi notée par la lettre (TJ. Toutes les transformations (f,-) (?' = 1, 2, . . . g) 

 peuvent être considérées comme des transformations de Laplace à l'équation (26). 



La transformation complètement déterminée de Laplace (7',), appliquée à 

 l'équation (26), conduit à une équation de même type et de même ordre au plus. 

 La condition nécessaire et suffisante pour (|ue l'équation obtenue soit d'ordre n — s 

 est que l'équation (26) admette s, et pas plus de s, X-intégrales distinctes de rang \. 

 Si nous appliquons la transformation (TJ à une équation (26) qui admet les .9 

 X-intégrales (29), nous obtiendrons les mêmes résultats que pour l'équation (20) 



