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Louise Petrén 



(voir les propositions 6 et 7); la transformation diininne ainsi le rang de chaque 

 X-intégrale d'une unité. 



L'équation donnée (26) est notée par la lettre {E) . Si nous appliquons la 

 transformation complètement déterminée {T^) plusieurs fois de suite, nous obtiendrons 

 une série d'équations de même type et d'ordre n au plus, qui sont notées par 

 {E^), (£"2), (Eg) etc.; dans cette série, chaque équation suivante est au plus de même 

 ordre que l'équation précédente. 



En appliquant la transformation (TJ plusieurs fois de suite à l'équation (E) 

 nous pouvons reconnaître si l'équation {E) admet de X-intégrale. La condition 

 nécessaire et suffisante pour que l'équation {E) admette s X-intégrales distinctes 

 de rang inférieur à m -|- 2, est que l'équation (Eju + i) soit d'ordre n — 6'. Les 

 X-intégrales de l'équation (26) sont obtenues de la même manière que les X-inté- 

 grales de l'équation (20). Pour obtenir les A' -intégrales de l'équation (26), il ne faut 

 que l'intégration d'équations différentielles linéaires, de règle, du premier ordre, dans 

 des cas spéciaux, d'ordre supérieur. Pour chaque X-intégrale obtenue de l'équation 

 (26), l'ordre de l'équation peut être diminué d'une unité. 



Les résultats obtenus jusqu'ici pour ré(|ua.tion (26) sont identiques aux résultats 

 correspondants, obtenus pour l'équation (20). 



La transformation inverse à la transformation 



3 ^ V ,i.8'''-o. 



où y^.s=o, 



est 



L'équation (26) peut s'écrire 



J?,-, Si, T, 7 étant des fonctions de x et de y, si l'équation adjointe (28) 



n'admet pas q X intégrales distinctes de rang 1. La transformation (^_i) 



est, cà un facteur près qui est une fonction déterminée de x et de //, inverse à une 

 trausformation (/i). 



Les transformations [t^j) (.; = 1, 2 ... g) peuvent être définies de la même 

 manière dont ont été définies les transformations en question de l'équation (20) 



