Extension de la méthode de Laplace 



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(voir page 48), c'est-à-dire comme les transforniations inverses, à un facteur près, 

 aux transformations ((,). La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (26) 

 admette une transformation {t-j) est que l'équation adjointe (28) admette au plus 

 q — j X-intégrales distinctes de rang 1. Ecrivons 



..(.)^|^-i).-'^(a.)-S(-i)-' 



les coefficients Ci, D,- étant définis par l'identité 



■•^(A-^) (Ä;=0, 1, ...n), 



(-1)" 



dxdy' 



[Aiu) 



y(_i)'-4(5,u) ^Va-^ + Yi). 



!=0 



_i=0 /=0 



Une transformation {t-j) est de la forme 



q — 1 V _L 1 n - \ ■ n 



^ Zj a^cg«/' ' ?)i,>- Là ' '• 



dxdtf 



1 = 0 



dtf 



,• = 0 i = 0 i = l 



les coefficients T,- vérifient les conditions nécessaires et suffisantes pour que les équations 



y^^!=o 



»• = 0 



admettent q — j intégrales distinctes en commun, et, de plus, les coefficients Ci 

 satisfont h n — q -\- j — 1 relations linéaires et homogènes ; ces dernières relations 

 peuvent s'écrire 



'\ h. 



0 {h^O, 1, ... n — q—1), 



k = 0 



{h — h)\ 



q + h 



1 = 0 



q~h 



^(-l)'C,- + lÇ>,-ft=0 [h 



i = 0 



^i+k—h 



1, 2,... i 



pourvu que Qq-ij^O {i=\,2,... j — 2); 'dans le cas où 



Çq_,-,;40 (^= 1, 2, ....9 — 1, 5+1, ...i-2), ^,.,.,_,, = 0, 



(s<i-2) 



la relation 



q - S 



5] (-l)'c,- + i(Çi_i,.+ ^•,) = 0 



i = 0 



y est ajoutée etc., tout à fait comme pour l'équation (20). Dans ces formules la 



désignation C,- — — ^' est emplovée, et Qi^ ont été formés des coefficients de l'équa- 



dy 



tion (28) de la même manière dont Pu, ont été formés des coefficients de l'équation 

 (26). Les relations en question sont obtenues de la même manière, à peu près, 

 que les relations (56') et (56"). La transformation {t-q), aussi désignée (T_i), est 

 par là complètement déterminée, à un facteur près. 



Nous trouvons de la même manière que pour l'équation (20) (voir proposition 9) 

 que, si l'équation (26) est ramenée à une équation de même ordre par une trans- 

 formation {tj) [{t-j)], il existe aussi une transformation (tj) [{t-j) respectivement], 



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