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Louise Petrén 



par laquelle l'adjointe de cette équation est ramenée à l'équation (28); cette propo- 

 sition est valable pour j = L, 2, ... q. Les transformations ^j) = 1,2, ... q) ont été 

 définies comme inverses aux transformations {tj) {j = \, 2, ... q). Pour l'équation (20) 

 nous pourrons aussi définir la transformation [t-j) {q en partant directe- 



ment de son caractère d'être une transformation de Laplace. Pour l'équation (26) 

 cette définition de la transformation [t^j] {q>_'j^l) est hors de question, car la 

 transformation (t^j) n'est pas une transformation de Laplace à l'équation (26). 

 Nous ne pourrons non plus obtenir une intégrale de la forme d'Euler de l'équation 

 (26) en appliquant les transformations (/-j) (i = 1,2, ...g). Les transformations en 

 question peuvent cependant être d'intérêt: Si l'équation adjointe (28) admet une 

 Z-intégrale de rang m + 1, nous obtiendrons en appliquant la transformation com- 

 plètement déterminée (T-i) m fois de suite une équation de la forme 



Y dy 



= 0 (i2,_i = l; /S„_i:^0), 



dont l'ordre peut être directement diminué d'une unité; et si l'équation adjointe 

 (28) admet s X-iutégrales distinctes, nous pourrons de même ramener l'intégration 

 de l'équation (26) à l'intégration d'une équation du même type et d'ordre n — s; 

 il faut pourtant remarquer que le second membre de la dernière équation est une 

 fonction linéaire de s fonctions arbitraires de x et de ses dérivées. 



L'intégration de l'équation (26) ne peut jamais être ramenée à l'intégration 

 d'équations différentielles linéaires par la méthode de Laplace. En appliquant les 

 transformations (TJ et (T-i) nous pourrons diminuer l'ordre de l'équation (26) de 

 q unités au plus, et l'intégration de l'équation pourra être ramenée à l'intégration 

 d'une équation de la forme 



1 = 0 ^ 



les coefficients 6, étant des fonctions de x et de y. 



De même que pouf l'équation (20), nous trouverons que la condition nécessaire 

 et suffisante pour que l'équation (26) admette une X-intégrale de rang m + 1 corres- 

 pondant à «Q, est que l'équation adjointe (28) admette une intégrale intermédiaire 

 de la forme 



i = 0 j = Ü 



où q = et où ')^.,n+l, i = 0 pour i > q. Si l'intégrale intermédiaire de l'équation 



(28) est donnée, nous obtiendrons la X-intégrale de l'équation (26) sans intégration; 

 et inversement. 



En effectuant la substitution s=='kz, l'équation (26) s'écrit 



