Extension de la méthode de Laplace 



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où 



+7 



Les fonctions des coefficients de l'équation (26) qui ne changent pas pour la 

 subtitution ^ = peuvent être obtenues de la manière suivante. Écrivons 



1 ''^'(ï + j) ! , r c^ A OA > S log V 1 

 Ji = - > , ■ ., ^i + y — -. 7=0. l,... g — 2, ou -- = ^ç-i, 



Les g fonctions Ii [i = 0,1, ... q — 1) et les w — g' fonctions Hi {i = ([ ^ \, g -\- 2, . . . n) 

 ne changent pas pour la substitution z = \z. Écrivons ensuite 



= l (Mi±i + Ai^ , H,] ^. - 1 5,^,. 



'--.^o*'^' V 2^ '^-^0 



g log V 1 



ou = An^ l . 



dy q 



Les q quantités Hi {i = 0, 1, ...g — 1) ne changent pas non plus pour la substitu- 

 tion ^ = Xi. Lorsque Aq^i = 0, nous obtiendrons 



/,-l = -2^^ It = Ai (i^O, 1, ...g-2), 



Hi = Bt (t = q+^. g + 2, ...n), H = ^ AiB, — Bi (i = 0, 1, ... q~l). 



Il en résulte que deux équations de la forme (26) qui ont les mêmes valeurs des 

 n-\- q invariants 



Ii (« = 0, 1, ...g-1), Hi {i = 0,l, ...q — 1, q + l, ...n) 



peuvent se ramener l'une à l'autre par une substitution de la forme ^ = Xi. Et 

 tout invariant de l'équation (26) est ainsi une fonction des n^q invariants 



(i = 0, 1, ... g— 1), Hi (i = 0,l, ...q~l, q-^l, ...n). 



La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (26) admette s X-iutégrales 

 distinctes de rang 1 est que les deux équations 



