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Louise Petrén 



admettent s intégrales distinctes communes. Nous obtiendrons de cette manière les 

 conditions que les invariants doivent vérifier pour que l'équation admette s X-inté- 

 grales distinctes de rang 1. — Je n'ai pas encore examiné les relations qu'il y a 

 entre les invariants de l'équation (26) et ceux de l'équation (E^). 



Le critérium de Goursat est valable sans changement pour l'équation (26) et 

 se prouve de la même manière que pour l'équation (20). 



Les résultats des chapitres III et IV ne peuvent naturellement pas être étendus 

 à l'équation (26). 



Par ces recherches, j'ai générahsé quelques-uns des résultats les plus impor- 

 tants obtenus par Darboux pour l'équation (1) 



d^z . dz . ^ dz , ^ 

 + a 1- 0 \- es = 0. 



dxdy . dy dy 



J'ai montré que ces résultats sont essentiellement valables aussi bien pour l'équa- 

 tion (19) 



> , Aoi ; + > Au : = 0. 



1=0 • 1=0 



Mes recherches peuvent sans doute être complétées à plusieurs points ; comme je 

 l'ai indiqué de temps en temps au cours de ce travail. 



Il ne serait pas sans intérêt d'appliquer les résultats obtenus ici à quelques 

 équations peu compliquées du type considéré pour les soumettre à un examen 

 plus approfondi. Je pense aux équations qui sont identiques à leur équation 

 adjointe; pour le cas où w = 2, elles ont été étudiées par Moutard^) et, plus tard, 

 par Darboux ^). Je pense aussi aux équations de la forme 



où au bi sont des constantes; pour le cas où n — 2 examinées par Darboux^). 



Il y a plus d'un problème d'intérêt pour l'application de la méthode de 

 Laplace à l'équation (19) 



Aoi y Au — : = 0 



que je n'ai point discutés dans cette thèse. Surtout il aurait intérêt à comparer 

 les méthodes de Darboux et de Laplace, à examiner si l'application des deux 



') Journal de l'École Pol.vtechnique. Cahier 45, 1878. 

 ^) Darboux, Leçons. Partie II, Livre IV, Chap. VII. 

 Darboux, Leçons. Partie II, Livre IV, Chap. III. 



