A INDICES QUELCONQUES. 



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n 



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i 



2 sin.œ+^-x. cos. b + l xdx 



a + b [2 sin. a ~ l x. cos.t+ï x dx 



r ^ 1 — sxn. 1 



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'2 sin. a — 1 cos.^ — 1 a? d# 



V 1 — p2 s { n 2 x 



qui est d'une très-haute importance, parce qu'elle peut servir 

 avec beaucoup de succès à la déduction d'une série de formules 

 de réduction, quand il s'agit de déterminer et d'évaluer les in- 

 tégrales comprises dans l'intégrale définie 



Toutefois, nous ne pourrions insister davantage sur cette for- 

 mule, sans sortir des limites que nous nous sommes fixées. 



Il nous reste encore une remarque importante à présenter. 



Dans un Mémoire de M. Liouville sur la théorie de la fonction 

 complémentaire (Voir le Journal de Crelle, T. XI), on trouve 

 un exemple de la manière dont il faut procéder pour calculer 

 cette fonction. L'auteur y fait en même temps une application 

 des différentielles à indices quelconques à la théorie des intégra- 

 les définies, qui ne diffère pas de celle que nous en avons faite 

 pour parvenir à la formule (7). Elle est analogue à la méthode 

 désignée dans le calcul intégral comme la variation de la con- 

 stante de l'intégrale, et exige, comme celle-ci, des précautions, 

 sans lesquelles on pourrait être conduit à des résultats défectueux. 



Nous en avons quelquefois fait usage, et nous pouvons ajouter 

 que les résultats obtenus s'accordent avec ceux auxquels on par- 

 vient par l'analyse ordinaire. Mais il n'en est pas ainsi des résul- 

 tats trouvés par M. Liouville; au contraire, nous devons constater 

 ici qu'ils ne peuvent être admis, attendu qu'il s'est glissé une 

 faute dans le calcul des différentielles à indices quelconques des 

 fonctions goniométriques. 



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