34 A. RUTGERS. SUR LES DIFFERENTIELLES 



Portons enfin cette valeur du premier membre dans une équa- 

 tion précédente, nous aurons la formule 



r 1 zv— ] (1 — z r )p~ l dz 1 r(p)r(q) ^ m n u q n U 1 



Jo ^ zry* r r(p + q) o K 



qui subsistera tant que Ton a /?> 0, # > 0 eta?> 1. Le second 

 membre de cette formule renfermant une série infinie, qui, en 

 général, n'est pas sommable, il est évident qu'on n'en peut faire 

 usage, quand il s'agit d'évaluer toutes les intégrales définies 

 comprises dans le premier membre. 



Mais il est très- remarquable que l'on puisse déduire de la for- 

 mule de définition (1) un théorème, qui montre tout de suite 

 la voie qu'on pourra suivre ici et dans les cas semblables. 



D'après la formule (1), on a 



= 2 km e mx mP , = 2 k m e mx m% — ^ = 2 km e m * m r ; 

 dxp dxi dx r 



puis , en faisant en même temps p = q H- r , 



ÉL (^T\ = — 2 km e mx m q = 2 km e mx mi+ r = 2 k m e mx mfi , 

 dx r Xdx* / dx r 



dxq 

 donc : 



(^y\ = ^ k m e mx m r = 2 km e mx m?+ r = 2 km e mx wP\ 

 \dx rJ dxî 



d v y d r +9 y d r (d* y\ d* /d r y\ < 



dxp dx r +2 dx r \dxi ' dxî \dxrJ ' 



d'où, si l'on fait q == — s — a et r = a, et que l'on désigne 

 par a un nombre entier et positif, 



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formule qui exprime le théorème que nous voulions établir. Elle 

 montre qu'on obtiendra toujours les mêmes résultats, soit qu'on 

 applique directement la formule (8), soit qu'on n'en fasse 



usage qu'après avoir déterminé ^ l'aide des règles ordinaires. 



dx a 



