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A. RUTGERS. SUR LES DIFFÉRENTIELLES 



on peut exécuter le développement et par conséquent la différen- 

 tiation que nous venons d'expliquer, est assez grand; mais il 

 faut observer que la nature de la formule (A) y apporte une 

 grande restriction, car si Ton veut que cette formule fournisse 

 beaucoup d'intégrales , il sera nécessaire que p puisse avoir toutes 

 les valeurs positives. 



En outre, lorsqu'on emploie la méthode précédente, c'est-à-dire 

 qu'on fait usage des équations (7) et (8), on obtient des for- 

 mules dans lesquelles figurent des fonctions Gamma, et afin que 

 celles-ci n'acquièrent pas des valeurs infinies, il faudra souvent 

 modifier les fonctions /(V). 



Après avoir déterminé les intégrales à indices quelconques de 

 différentes fonctions f(x), soit par l'application des formules que 

 nous avons fait connaître , soit au moyen d'autres qui peuvent 

 s'en déduire, mais sur lesquelles nous ne saurions nous arrêter 

 ici sans entrer dans les détails de la méthode, il ne reste plus 

 qu'à substituer dans la formule (A) les valeurs qu'on a trouvées 

 pour ces intégrales, et les fonctions f{x) auxquelles elles appar- 

 tiennent. 



Les premiers membres des formules, qui résulteront de ces 

 substitutions, sont des intégrales définies, dans lesquelles x ne 

 peut avoir que des valeurs positives, et où les fonctions sous le 



signe j ont , en général , une forme très-compliquée , de sorte qu'il 



sera souvent nécessaire de changer de variable indépendante, 

 pour parvenir au but qu'on s'est proposé d'atteindre. Au lieu de 

 procéder comme nous venons de l'indiquer , il y aura souvent avan- 

 tage à appliquer d'abord la méthode de substitution au premier 

 membre de la formule (A) , et à substituer ensuite dans les intégra- 

 les, qui résultent de cette transformation, les fonctions f{x) dont 

 on est parvenu à déterminer les intégrales à indices fractionnaires. 



Ce n'est point le lieu ici de faire connaître toutes les substi- 

 tutions qui mènent au but; cependant nous ne croyons pas in- 

 utile d'éclaircir par un exemple la méthode que nous venons 

 d'exposer d'une manière générale. 



