A INDICES QUELCONQUES. 31 



1 00 oo /*o° 



_ = lim. h 2 e— nkv = lim. h 2 e~ nllx z= \ e~ x v dy. 

 xi o Jo 



Par l'intermédiaire de la formule (1), on trouve ensuite les 

 équations 



= I e—*y dy, 



dx p x dx p J o 



d» 1 , S 



dx P x 



oo r J 

 ==. lim. h S e~ nhx ( — nh) p z=z \ &-*y ( — y) dy ; 

 0 



après avoir écrit la dernière sous la forme suivante 



d* 1 r x fdp 



dx p x 



on aura par suite : 



d p 

 dxp 



Cette formule montre qu'il est permis d'effectuer ici la diffé- 

 rentiation à indices quelconques par rapport à une constante sous 



£r-r* = £(£.-*)* s ..-.(<0 



le signe j. 



Appliquant les formules (1) et (6) à l'équation (o), il vient 



JL i- = (-l>. f>±P)-J_ ; (7) 



dxp x m /' (m) x m +P 



d'où, pour p = — 



f? r(m — û) 1 



I = (— l)-g V/ \ ' . • • (m — </>0).. . (8) 



Les formules (5) et (7) sont d'un grand intérêt. 



La première nous apprend que les développements exponentiels 

 des fonctions ,/ (x) peuvent être réduits à des développements en 

 séries convergentes ordonnées suivant les puissances croissan- 

 tes de - • la seconde donne le moyen d'en déterminer d'une ma- 



nière simple les différentielles et les intégrales à indices fractionnaires. 

 Il est évident que le nombre de fonctions f(x), sur lesquelles 



