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A. RUTGERS. SUR LES DIFFERENTIELLES 



Quant aux fonctions x [x) , la formule (A) est heureusement telle , 

 que Ton a constamment x 'x) — 0. Or , il sera permis de poser 

 x (x) = 0 , lorsque dans quelque équation 



y = J 4- x (x), 

 dxp 



dp f(x) 



y et s'annulent en même temps pour une valeur parti- 



dx p 



culière de x, et cela quel que soit Ce cas se présente tou- 

 jours quand on fait usage de la formule (A), mais il n'en est 

 pas de même à l'égard de la formule (B); au contraire , il 

 faudra alors toujours calculer la fonction complémentaire, et ce 

 calcul sera souvent assez embarrassant. 



Remarquons encore que le développement des fonctions f x (x). 

 en séries d'exponentielles conduit à des calculs prolixes, et offre 

 en beaucoup de cas des obstacles presque insurmontables ; ce qui 

 constitue la raison capitale qui nous a fait renoncer à employer 

 la formule (B). 



Nous allons faire voir maintenant comment on peut parvenir 

 aux développements exponentiels des fonctions f (x). 



Si l'on fait p = l et mz=.x dans l'équation (5), on obtient 



- = ( e-tydy, 

 x Jo 



formule, dont le second membre est, d'après la définition fonda- 

 mentale des intégrales définies , une véritable série d'exponentielles. 



Il est facile de démontrer d'une manière directe la validité de 

 cette formule. L'équation connue 



vnP 



== Um. (- -V , lim h = 0 



\ h / 



nous donne , lorsqu'on suppose m de la forme p + qi , (/j>0), 

 et qu'on applique la formule du binôme, 



m p = lim. ^J\evtfh — ( » ) e m(p—l)A • ( p ) e m(p — 2)/t — ). 



hv I Kri J yi - } s 1 



d'où, en changeant m en x et faisant p = — 1 



