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A. RUTGERS. SUR LES DIFFERENTIELLES 



T. XIII, et le Journal de Crelle, T. XL) Il a démontré qu'on a 

 en général 



z{x) = C 0 4-Cj x + C. 2 x 2 + ■+- Cnx*, (2) 



où C 0 , G 1 . . . . C» désignent des constantes arbitraires, dont le 

 nombre est indéterminé. 



Dans les cas particuliers d'un p entier et positif ou négatif, 

 l'équation (2) se réduit à 



z{x)—0, (3) 



ou à 



x{x) = G 0 +C, x + C 2 x* -h . . . . +C y ;_i^-i . . . (4; 



Pour calculer la fonction x [x) , on n'a qu'à employer la mé- 

 thode dont on se sert ordinairement dans le calcul intégral , quand 

 il s'agit de déterminer le second membre de l'équation (4). Si l'on 

 désigne par q un nombre réel et positif, et que Ton remplace p 

 par — q dans la formule (1), il viendra 

 d—9 if 



-i = 2 k m e"* m —9 -h x (x) ; 



au lieu du premier membre de cette équation nous emploierons, 

 dans ce qui va suivre , la notation j 1 y dx* 9 à laquelle nous don- 

 nerons le nom d'intégrale de y de Tordre q. 



La formule de définition (1), que nous venons de donner , con- 

 duit à une formule qui doit être regardée comme très-importante, 

 parce que c'est en effet à l'aide de la relation qu'elle établit 

 entre les différentielles à indices quelconques et les intégrales 

 définies, qu'on peut parvenir d'une manière simple non-seulement 

 à la déduction, mais aussi à l'évaluation d'un grand nombre de 

 ces intégrales. 



La formule que nous avons en vue, et que nous devons à 

 M. Liouville, est la suivante: 



/ 0 °7 (* + y) if~ l 'iy = (—iy r (p)j P f (*) ^ (A) 



On la déduit de la manière la plus simple en partant de 

 l'équation connue 



