SUR LES 



DIFFÉRENTIELLES À INDICES QUELCONQUES , 



PAR 



A. RUT GERS. 



(Extrait de: Dissertatie over differentialen van gebroken orde en haar gebruik bij 

 de afieiding van bepaalde integralen). 



Soit y une fonction de x, et 2k m e mx son développement 

 en série convergente d'exponentielles; je nomme ; comme M. 

 Liouville, 2 k m e mx m p H- z (x) différentielle ou dérivée de y de 



d p y C 



l'ordre p, et je la dénote P ar ^^> ^e sorte que l'on a: 



^=2A m e^m^ + z(x) (1) 



Quant au second membre de cette équation , on a déduit le 

 premier terme en multipliant chaque terme du développement 

 de y par la puissance p de l'exposant correspondant ou par m p ; 

 et cela quel que soit p , de sorte que cet indice peut être entier 

 ou fractionnaire ; positif ou négatif; réel ou complexe; le second 

 terme ou la fonction z (x) est la fonction complémentaire , c'est- 

 à-dire la quantité; qu'il faut toujours ajouter à la valeur du 

 premier terme; pour rendre les différentielles à indices quelcon- 

 ques aussi générales qu'elles peuvent l'être. 



M. Liouville est parvenu à déterminer la forme et la nature 

 de la fonction z (x), (Voir le Journal de l'École Polytechnique, 



