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j. de jong. de l'équation intégrante. 



la question se pose de savoir quel rapport il existe entre d n ~ 1 go et 

 d n cp. On est porté a croire que d 11 - 1 y est l'intégrale première de 

 d n cp. En effet, j'ai pu prouver 1 ) que l'équation cf n — 1 <p = 0 est 

 identique avec l'équation que l'on obtient en réduisant de la manière 

 connue l'équation d n <p = 0 à une équation de l'ordre n — 1 , 

 au moyen de son intégrale particulière. Les équations différentielles 

 linéaires aux coefficients constants ont été traitées amplement par 

 Euler. Il conclut à la forme de l'intégrale particulière 



y = e** 



par la vue seule de ces équations. L'équation intégrante m'a fourni 

 le même résultat, mais d'une manière théorique 2 ). 



Soit l'équation différentielle linéaire de l'ordre n, dont le second 

 membre est zéro, 



d"y=Ay+B d l +C +D + . . . +M = 0 (6) 



dx dx 2 dot 3 dx n 



Son équation intégrante sera 



<teA*-B — +C — D +. . .+(-l)»M *?= 0 . . . (7) 

 dx dx 2 dx 3 dx 11 



Des équations (6) et (7) il suit, en général, que si 



*=/(*>» 



(p sera la même fonction de — x. 



Multiplions (6) par cp , (7) par y et soustrayons le second produit 

 du premier, on aura: 



«(^■'S)+--«0S-<-'"£)= o ;-m 



Quelle que soit la valeur des coefficients A, B, C etc., les 

 équations (6) et (7) existent en même temps. Il faut donc aussi 



*) Thèse précitée, page 50 et suivantes. 



2 ) Euler avait presque soupçonné l'existence de l'équation intégrante. Ainsi il 

 dit , dans son Traité de Calcul intégral, qu'il est possible d'intégrer l'équation linéaire 



d* y -f- A dy d x + B y d x % = Xdx* 

 au moyen d'un facteur y, si l'équation 



d* ï — A d y d x + B Y dx 1 = 0 

 est intégrable. Cette équation est l'équation intégrante de la première. 



