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J. VERSLUYS. DÉMONSTRATION NOUVELLE, ETC. 



fe+2i)(?2+?3)=S(â f 4-i 1 )S(^ 2 -f-^ 3 )+S(^-|-^ 1 )V(î 2 +^ 3 ) + 

 H-Vfe+^)S(^+^)+V( 2 H-^)Vfe 2 +^ 3 ). 

 Pour les produits du dernier membre on a : 



%+2i)S(2 2 +2 3 )=(%^ 

 V(g+gi)V(?,+g3)=(Vg+^ 



(g+gl)(22+g 3 )=gg2-i-25 r 3+2l?2+gl23 



Des derniers membres des quatre équations on a additionné les 

 4 produits qui se trouvent dans une même colonne verticale. 



La dernière équation exprime la propriété distributive pour des 

 quaternions quelconques. 



Propriété associative. 



§ 9. D'après l'arithmétique la multiplication de tenseurs est 

 associative. Il nous suffit donc de démontrer la propriété asso- 

 ciative pour des verseurs, que nous représenterons par des arcs 

 ' de grands cercles d'une sphère. 



Considérons en premier lieu le cas où le plan du troisième 

 facteur contient le dividende du produit des 2 autres facteurs. 

 On peut alors représenter les 3 verseurs par 3 arcs AB, BC et 

 CD , de sorte que 2 arcs successifs ont une extrémité en commun 

 (Voir fig. 1). 



Fig. î. On a : 



GD.BC.AB = CD.AC = AD, et 

 (CD.BC)AB — BD. AB = AD; 

 donc CD.BC.AB = (CD.BC).AB 

 et cette équation exprime la propriété asso- 

 ciative de trois verseurs pour te cas oit le 

 troisième verseur passe par le dividende du 

 produit des autres verseurs. 

 § 10. Quand le deuxième facteur est scalaire , on a immédiatement 



C D . / . A B =r C D . (/ . A B) = (C D . /) A B. 

 Ceci est un cas particulier du cas précédent. 

 § 11. A présent tâchons de réduire la multiplication de 3 verseurs 



