J. VERSLUYS. DÉMONSTRATION NOUVELLE, ETC. 181 



quelconques aux cas des paragraphes 9 et 10. La différence entre la 

 multiplication de 3 verseurs quelconques et le cas du § 9 est 

 que, dans la multiplication des verseurs quelconques (voir fig. 2) 



DE.BC.AB, 



D est différent de C. 



Fig. 2. 



Remarquons en premier lieu qu'on peut 

 regarder un verseur donné 0 B : 0 C (voir 

 fig. 3) comme la somme d'un quaternion 

 qui a un angle donné B 0 D et d'un scalaire : 



ou 



Fig. 3. 



OC 



OB 

 OC 

 OB 

 OE 



OE-t-EC 



OB 

 OE OD 

 OD ' OB 

 EC 



OE 

 ÔB 

 EC 

 OB 



EC 

 ÔB 



et sont deux scalaires que nous 



OD OB 4 



représenterons successivement par k et 



/. Nous avons donc 



OD 



OC ^ 



ÔB — C ( 



l 



ou dans la figure 2 



BC ■= k . BD H- /. 



On a, d'après le § 9, 



D E . (A; B D . A B) = (D E . A- B D) A B , 

 d'après le § 10 DE.( / . A B) = (D E . /) A B 



DE|(£BD + /) . AB|=zjDE. {kBD -h /) j A B 

 DE .(BC . AB) = (DE.BC) AB 

 Cette équation exprime la propriété associative de la multiplication 

 de 3 verseurs quelconques. 



REMARQUES. 



1. Dans la démonstration des deux principes mentionnés ci- 

 dessus , nous avons commencé chaque fois par un cas particulier. 

 Dans le § 1 nous avons supposé que le plan de l'un des quater- 

 nions passe par le diviseur de la somme des autres quaternions. 



