278 D. B1ERENS DE HAAN. LA METHODE d'eULER, ETC. 



nous trouverons : 



d 2k y ^ d^-iy d 2k y m dP-*? 



dx 2k dx 2k ~ 1 dx 2k dx 2k ~ x 



d'où 



jjac-iy d 2k -^ 7n d 2k -h, d™- 1 ? _ 



I + l — = /C 2 ou . = C , : (14) 



daP- 1 dx 21 *- 1 2 dx 2 *- 1 dx™- 1 2 ' V ; 



formule qui pour k= \ contient la précédente (13). 



De la même manière, nous pourrons éliminer — et — entre 



dx dx 



les équations (10) en (12) : ainsi il viendra 



dx™* 1 ' 5» + ~dx 2k + 1 : dx^ ~~ ' 



d'où 



7 d** in d 2k y d 2k y n 

 I -\- l = l C % ou — - . z= C o ; . . (15) 



dx 2k dx 2k 3 dx 2k dx 2k J ' K J 



résultat remarquable, parce qu'il démontre que la formule (14) 

 convient aussi pour des indices pairs: qu'on a donc générale- 

 ment 



% . '** = C 4 (16) 



dot dx k 4 V ; 



Elle convient pour h = 1 , comme le prouve la formule (13) , 



déduite d'une tout autre manière. Elle conviendra encore pour 



1 = 0, car la première équation du système (7) nous donne 



dy dq> d 

 0 = <p -f +y — = — 



dx dx dx 



d'où 



V ■ 9 = C 5 ; (17) 



3. Maintenant nous pouvons procéder à l'intégration elle-même. 

 On déduit de (17) 



ce qui transforme Féq. (13) ainsi 



C - (dy\ 2 « , ïdy ^ , C , 

 — j " ) = Cj , donc - ^ = V" — -i = « ; 



y 2 Wo;/ j/ âfc C 5 



