0. BIERENS DE HAAN. LA METHODE d'eULER, ETC. 279 



où « est encore arbitraire; donc 



l IL— «x et9> = C 6 . (18) 



puis par (17) 



<P = C 7 e-«* (19) 



Le résultat (18) est précisément la formule qu'Euler emploie 

 pour ainsi dire empiriquement. On la déduira encore d'une autre 

 manière, qui donnera de nouvelles propriétés de nos intégrale 

 et de nos facteurs intégrants. 

 L'équation (14) donne 



d 2k - 1 <f.__ n d 2k ~hj 



Difïérentions-la , il vient 



d 2k cp 



-= — C 2 



dx 2k dx 2k \dx 2k 



, d 2k y d 2k ~^y . C 

 t ou . J : s — \y 



ce qui peut être substitué dans (15) 



/d 2k yy m p*-w___c 



\df k ) W*-V ~~ C 2 dx 2k dx™- 1 C 2 

 où /? est arbitraire : l'intégration donne maintenant 



_1_^ = d ^l = G»eP*' . . . (20) 



donc par (14) 



#* + lç> C 2 , 



dx 2k + 1 C 8 

 De la même manière on aurait par (15) 

 d 2k g> c . #y 



donc 



d 2k + 1 (p „ d 2k+1 



(21) 



= — C 3 



dx 2k + 1 3 dx 2k 



+ 1 ' \dx 2k ) 



Changeons dans (14) h en h 1, et substituons la dernière 

 formule , il vient 



îâP +1 y\ 2 . /d 2k yy 

 où r est la constante arbitraire. 



C, d 2k + h, d 2k y C 2 

 ---ou £ : — ^ = |/ — 2 



t 



