352 G. F. W. BAEHR. SUR LES RACINES DES ÉQUATIONS. 



finira à celle de ces intégrales qui a pour limite inférieure le plus 

 grand multiple de | n moindre que x, en sorte que sa limite 

 supérieure sera x. Puisque cos z est positif entre les limites de la 

 première et de la quatrième , et négatif entre les limites de la 

 deuxième et troisième , le premier membre de (2) , ainsi décomposé , 

 commencera par un terme positif, et ensuite deux termes négatifs 

 précéderont toujours deux termes positifs, jusqu'à la limite x, de 

 sorte qu'en désignant par P , Q, K, S, ...T, les valeurs absolues 

 des intégrales ci-dessus, ce premier membre sera une répétition 

 de quatre termes telle que 



P — Q — R -h S, 



dont la dernière pourra finir à un de ces termes , qui ait x pour 

 limite supérieure. 



Il est évident que ces intégrales partielles varieront continue- 

 ment avec x. Tant que cette variable soit égale soit surpasse la 

 limite supérieure de la -dernière T, que l'on considère, on aura 



P<Q<R<S...<T etc. ; 



car pour chaque élément de P il y en a un de Q, pour lequel 

 cos z a la même valeur absolue, les valeurs de z étant respec- 

 tivement pour P et Q 



z — 2 n n + z' et z = (2n + 1) n — z' , 



où z' <\n 1 de sorte qu'en désignant les valeurs correspondantes 

 de w par Wl et a - 2f on a 



-L 71 



^ r 2 / 1 1 \ Cos z' . 



P — Q= l- : ) dz>- 



J \ sin Mj sin ca-i / x 

 0 



mais les valeurs de z dans Q étant constamment plus grandes 

 que celles dans P , on aura entre les limites de l'intégration tou- 

 jours sin > sin W2 ; donc tous les éléments de i'intégrale P — Q 

 sont négatifs, et par conséquent P — Q < 0. De la même 

 manière on voit que Q — R <0 S — T <0 etc. 



