354 G. F. W. BAEHR. SUR LES RACINES DES EQUATIONS. 



Cela posé, écrivons l'équation (2) sous la forme 

 A — B — C + D + E — F — G + H + .... = 0 ... (3) 

 où chaque terme représente la valeur absolue d'une intégrale par- 

 tielle prise entre des limites dont la différence est on aura 



A <B < C <D < E < F etc. 



et en même temps 



B — A < D — C < F — E < etc.; 



ces valeurs varieront avec x , mais tant que x ne sera pas moindre 

 que la plus grande limite de celles que l'on considère, elles satis- 

 feront à ces inégalités. 



Tant que x < \n y le premier membre de (3) contiendra seu- 

 lement un terme A, et sera positif; pour x=} y ^r, il contiendra 

 les deux termes A — B, et par conséquent il sera négatif: il y 

 a donc une racine entre \ n et n m 



Si ensuite l'on fait croître x de n à f n y le premier membre 

 (3) restera négatif, puisque à une partie négative A — B s'ajoute 

 une quantité négative — C , mais pour x = 2 n il sera positif 

 puisque D — C > B — A; il y a donc une deuxième racine entre 

 4 ?! et 2'«. Généralement, en vertu des. inégalités établies, le pre- 

 mier membre de l'équation (3) est positif ou négatif suivant qu'il 

 finit à un terme positif ou négatif. Pour x égal à un multiple 

 impair de y 2 n ce premier membre sera donc positif ou négatif en 

 même temps que le terme final qui correspond à une telle valeur 

 de x, et qui est toujours le deuxième terme d'une permanence; 

 mais alors le terme suivant , qui sera le terme final quand on aug- 

 mente x de j- 7t , est de signe contraire , et avec lui le premier 

 membre de l'équation. 



La première équation a donc une racine entre chaque multiple 

 impair de * n et le premier multiple de qui le suit ; elle n'a 

 pas de racine entre un multiple de n et le premier multiple de 

 \ n qui le suit. 



La seconde équation est la dérivée de la première, réduite à 

 cette forme par l'intégration par parties, et divisée par — x. 

 On trouve des difficultés en la traitant sous cette forme, mais 



