G. F. W. BAEHR. SUR LES RACINES DES ÉQUATIONS. 357 



donc, puisque sin &> 4 



< sin w 2 









cos b> 4 



COS w 3 



> 



C05 w 2 



C05 coj 



sin a i 



sin co 4 



sin «*> 2 



5m w 2 ' 



et , puisque cos &> 3 > 



C05 w J f 









cos « 3 



COS w 3 



> 



C05 Wj 



COS Wj 



sin w 4 



«m w 3 



sin « 2 



5m w j ' 



en sorte que la somme de ces deux dernières inégalités donne 



COS « 4 COS w 3 COS o> 2 C05 Wj 



5m o 4 5m tu 3 5m w 2 sin &> j ' 



ainsi tous les éléments de la dernière intégrale sont positifs, et 

 par conséquent 



B — C — D + E>0, 



et pareillement on verra qu'une suite de quatre termes qui com- 

 mence et finit par un terme négatif, est une quantité négative, 

 ainsi 



— D-t-E + F— -G<0. 



Par suite , tant que x < » , et pour x = n f le premier 

 membre (5), qui contient alors tout au plus les deux termes 

 A -h B, sera positif, tandis que pour x = f n il sera négatif ; 

 il y a donc une racine entre 71 et f »• 



Si x augmente de f n à 2 n , le premier membre (5) reste né- 

 gatif, mais pour x = ^ n il sera positif, puisque alors il contient 

 une quantité positive A , à laquelle s'ajoute une quantité positive 

 B — C — D-f-E; il y a donc une deuxième racine entre 2 n et \ n. 



De x = \n à x = 3 ?! le premier membre reste positif, mais 

 pour # z= | ?! il sera négatif, puisque alors il contient la quantité 

 négative A + B — C, à laquelle s'ajoute une quantité négative 

 — D + E + F — G; il y a donc une troisième racine entre 

 3 n et \n } et ainsi de suite. En général, le premier membre de (5) 

 sera positif ou négatif suivant qu'il s'arrête à un terme positif 

 ou négatif. Pour x égal à un multiple de n il sera donc positif 

 ou négatif en même temps que le terme final correspondant à 

 cette valeur de x, lequel est toujours le deuxième terme d'une 



