1. In einer 1887 erschienenen Arbeit ^ benutzte E. Guichard gewisse discon- 

 tinuierliche Integrale um Lösungen der Funktionalgieichung 



(1) • . /(^ + 1) -/(.') = 



[tp bekannt, / gesucht] zu bekommen. Wenn man hierbei den funktion en theoretischen 

 Vorgang etwas näher verfolgen will, als es bei G. geschieht, so kann hierüber fol- 

 gendes gesagt werden. 



Man nehme an, dass cp eine in der ganzen ^-Ebene existierende eindeutige 

 analytische Funktion sei. Dann wähle man eine Funktion L{u) einer Hilfsvariablen 

 u mit folgenden Eigenschaften: 1) L{u) ist eine eindeutige analytische Funktion mit 

 der Periode 1 ; 2) in der Stelle h = 0 und somit auch in allen Stellen, welche mit 



M = 0 modulo 1 kongruent sind, hat L{u) einen einfachen Pol mit Résidu = t^., 



2,7:% 



aber in allen anderen endhchen Stellen verhält sich L{u) regulär. Endlich bilde 

 man das Integral 



ik 



(2) H{z) = f (p(u) L{u — 0)du, 



ih 



wo h und k zwei beliebige reelle Grössen, h < k, bedeuten, und das Integral längs 

 der geradlinigen Strecke von hi bis ki zu nehmen ist. 



Das so definierte Integral H{e) hat folgende Unstetigkeiten. Wenn man sich 

 von der linken Seite einer Stelle 0 = iy der Tntegrationsstrecke nähert (wir können 

 uns ja denken, dass die verschiedenen Werte von z = x -\- iy in der M-Ebene mar- 

 kiert werden) so nähert sich H{s) einem bestimmten endlichen Werte H^{iy). Wenn 

 man dagegen von der rechten Seite kommt, so erhält man einen gewissen Wert 

 HJ^iy). Nun bleibt aber unverändert, wenn man den Integrations weg bei iy mit 

 einer kleinen rechtsseitigen Ausbiegung 6. versieht; und ebenso bleibt ZT unver- 

 ändert, wenn man bei iy eine entsprechende Ausbiegung nach links macht (etwa 

 so dass h^. und zusammen einen kleinen Kreis bilden). Es wird somit 



Hi,iy) - H^ity) = /- /■ 

 ' Annales de l'école normale supérieure (3) T. IV p. 361 fE. 



