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T. Brodén 



Infolge unserer Voraussetzungen über die Funktion L[u) ist aber hier das linke Glied 

 nach dem Cauchy'schen Integralsatze gleich Es wird also 



(3) H^(iy)-Hiiy) = ^{,y).- 



Aus der Periodicität von L{u) folgt ferner, dass ganz dieselbe Unstetigkeit auch auf 

 allen Strecken n -\- ih ... n ik (w = + 1, ±2...] stattfindet: 



H^n + ip) = Hliy), H.(n + ty) = H^iy) 



Hin + iy) — H^{n + iy) = tp (^^/) . 



Sonst ist aber H[s) überall eindeutig und stetig. 



Nun betrachten wir zunächst das horizontale Band h < ij < k. Im Rektangel 

 ih, 1 -f ih, 1 -(- ik, ik definiert H[z) ein Element einer analytischen Funktion f[z). 

 Und innerhalb des Bandes ist eine eindeutige Fortsetzung luöghcli, welche durch 

 Deformation des Integrationsweges (unter Beibehaltung der Endpunkte ih und ik) 

 vermittelt werden kann. Wir haben also innerhalb des Bandes einen monodromen 

 Zweig von f[z). Und es gilt hierbei offenbar, dass 



f(iy) ^ Hity), /(l + nj) = Ell + ty) = Hliy) 

 ist, und somit nach (3) 



d. h. für 2 = it/ (h < y < k) 



Da also die beiden Funktionen f{s-\- 1) — /(^) und (1(2) für alle ^-Werte, welche auf 

 der Integrationslinie liegen, übereinstimmen, so müssen sie im ganzen Bande mit 

 einander übereinstimmen. Innerhalb des betrachteten Bandes hat man also jeden- 

 falls einen monodromen Zweig einer analytischen Funktion f{e), welcher den Funk- 

 tionalbedingung (1) genügt. 



Andererseits folgt keineswegs aus der vorausgesetzten Eindeutigkeit der Funk- 

 tion ^{s), dass auch f(s) im ganzen eindeutig sei. Freilich muss, wenn man f(s) 

 mehrdeutig annimmt, auch die Differenz f{2: + 1) — /(^) für ein beliebiges 0 mehrere 

 Werte annehmen, wenn man jeden Wert von /(^) mit jedem Werte von f{e -\- 1) 

 kombiniert. Aber das so erhaltene ganze Wertvorrat der Differenzfunktion muss 

 nicht notwendig zu einen einzigen analytischen Funktion gehören, sondern kann 

 sehr wohl in mehrere solche zerfallen. Speciell hindert nichts, dass eine eindeutige 

 Funktion sich aussondert, welche mit (f{s) identisch ist. Und natürlich muss dies 

 dei' Fall sein, wenn f{z) mehrdeutig ist. 



Dass nun in der Tat f{0) sogar unendlich vieldeutig ist, kann man in folgender 

 Weise einsehen. Die geradlinige Strecke n -\- hi ... n -\- ki (n = 0, +1, +2,...) be- 

 zeichnen wir mit S^^ (so dass also Sç, den Integrationsweg bedeutet). Man denke 

 sich nun in der ^-Ebene eine im übrigen ganz freie Bewegung, bei welcher nur 

 die Überschreitung der Linien nicht zugelassen ist. Innerhalb des so definierten 



