Einige Anwendungen diskontinuierlicher Integrale auf Fragen der Dilïerenzenrechnung 6 



Bereiches hat H{2) für jedes e: einen bestimmten Wert, und es ist immer H{s -\- 1) = 

 = Hiß). Wenn man dagegen die Schnitte S,^^ überschreitet und dabei analytisch 

 fortsetzt, so gestaltet sich alles in folgender Weise. Es liege zunächst z im Bande 

 h < y < k. Wenn dann überdies 0 < a; < 1 ist, so vermehrt sich, wenn man von z 

 nach + 1 etwa geradlinig geht, die Funktion um tf (2) : 



Für n — 1 <x <.n findet zufolge der Periodicität von H{2) ganz dieselbe Wert- 

 änderung statt: 



f{£) = R{z\ j\z + 1) = R{z) + _ w + 1) . 



Diese Gleichungen finden dann offenbar auch statt, wenn z nicht itn Baude h <.y < k 

 liegt, sobald man nur von s nach z -\- 1 längs einem Wege geht, welclier den Schnitt 

 S einmal von linlis nach rechts überkreuzt, sonst aber keinen Schnitt S berührt. 

 Wenn man nun nachher zur ursprünglichen 2 zurückgeht ohne einen Schnitt zu 

 überschreiten, so ändert sich H[s) nicht (da H{si — 1) = H{z)), und ^{z — n-\- 1) geht 

 in <f{z — 1 + n + 1) = çp(^ — n) über. Dies heisst mit anderer Ausdrucksweise: die 

 Stellen u + ik und n -\- ih sind Verzweigungsstellen und zwar in solcher Weise, dass 

 wenn man von einem gewissen z mit einem bestimmten Werte von f{z) ausgeht und 

 einen geschlossenen Weg beschreibt, welcher eine Stelle n -\- iJc in positiver Richtung 

 bez. n -\- ih in negativer Richtung umkreist, so gelangt man zum Ausgangspunkte 

 mit dem Funktionswerte /{z) -f ^{z — n). Bei einem ganz beliebigen geschlossenen 

 Wege findet also offenbar eine Vermehrung um 



^m'^[z-n), = ±1' +2... 



statt, wo je nach den Umständen m und n diese oder jene der bezeichneten Werte 

 annehmen. Und da ein Werl von f[z)=^ S(z) ist, so lässt sich der ganze Wertvorat 

 von f{z) so zusammenfassen: 



f{z) = H{z) + ^m<f(z — n). 



Natürlich ist hierbei zu bemerken, dass dieser Ausdruck nicht unmittelbar für Stellen 

 einer Linie S_^^ gilt, da H{z) hier unstetig ist. Aber bei Annäherung von der hnken 

 Seite an eine solche Stelle giebt der unendlich vieldeutige Ausdruck unendlich viele 

 Grenzwerte; ebenso wenn man von der rechten Seite kommt; und die linksseitigen 

 und rechtsseitigen Grenzwerte schliessen sich zu zwei und zwei stetig an einander. 

 Für die DifferenzEunktion gilt nun ein Ausdruck der Form 



(4) f{z + 1) -f{z) =='^mz(z^l-n)-Yp <p{z - q) 



(m, n, p, g = 0, ±1, ± 2 ...) 



Diese Funktion zerfällt also in lauter eindeutige Funktionen, von denen eine gleich 

 f{z) ist. 



Wenn man nun aber erwünscht, dass schon f{z) eindeutig sein soll, so lässt 

 sich dies jedenfalls unter gewissen Voraussetzungen durch einen Grenzübergang 



