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T. Biodén 



erreichen, nämlich so, dass man ]c= -\- œ ^ h — — oo nimmt. Wenn das Integral 

 (2) dann noch konvergiert, so zerlegt sicli f{z) selbst in unendlich viele eindeutige 

 Funktionen, welche je eine Funktionalgleichung (4) erfüllen, von welchen die ur- 

 sprüngliche Gleichung (1) ein Specialfall ist (s. gleich oben). Die Verzweigungs- 

 stellen vereinigen sich ja nämlich in = od und hören dann natürlich auf, Verzweig- 

 ungsstellen zu sein. In dieser Weise hat Guichard gezeigt, dass wenn eine ganze 

 Funktion ist, die Funktionalgleichung (1) auch durch eine ganze Funktion f{2) be- 

 friedigt werden kann; hierbei wird jedoch die Methode so modificiert, dass der 

 Integral durch eine geeignet gewählte Funktion (|j(m) dividiert wird, welche u. A. 

 die beiden Eigenschaften <^{u + 1) = und hm '^{u): '\[u) = 1 besitzt ^ 



2. Die obigen Betrachtungen sind ja nur als eine etwas nähere Analyse des 

 GuicHARü'schen Verfahrens zu bezeichnen. Diese Analyse hatte aber hier den 

 Haiiptzweck, als Vorbereitung für eine analoge Behandlung des folgendes Problems 

 zu dienen: es seien ztvei Gleichungen 



gegeben, wo œ und ']/ eindeutige analytische Funktionen bedeuten; und es wird ver- 

 langt, eme Funktion f[z) zu finden, welche beiden Gleichungen genügen (wobei es 

 eine unwesentHche Verallgemeinerung wäre, co und w' statt 1 und i zu schreiben) ^. 



Zunächst ist hierbei zu bemerken, dass die Lösbarkeit des Systems (5) als not- 

 wendige Bedingung eine gewisse Relation zwischen cp und f\ voraussetzt, falls auch 

 /{s) eindeutig sein soll. Man gehe nämlich, von einer gewissen ^-Stelle aus, zuerst 

 nach ^ + 1 und dann weiter zu z -\- i ~\- i\ und andererseits zuerst nach z + i und 

 nachher zu ^ -j- * -I- 1 ; zufolge der beiden Funktionalgleichiingen erhält man dann 

 in der letzterwähnten Stelle zwei im Allgemeinen verschiedene Funktionswerte, deren 

 Ubereinstimmung (wie unmittelbar ersichtlich ist) als notwendige und hinreichende 

 Bedingung die Relation 



erfordert ^. Wir setzen diese Bedingung als erfüllt voraus. 



Unter diese Voraussetzung kann es nun gefragt werden, ob das System (5) 

 wirklich eindeutige Lösungen hat, oder überhaupt ob Lösungen existieren, sei es 

 ein- oder vieldeutige *. Selbstverständlich müssen dann die beiden Gleichungen je 



' Guichard 1. c. p. 366—68. Vgl. auch meine Schrift : Bemerkungen über sogenannte finite 

 Integration: Arkiv för matematik etc., Band 7, N:o 6 p. 31 — 32. 



^ Unter der Aniialime, dass (p und ganze anal. Funkt, waren, hatte Guichard auch diese 

 Frage schon in einer noch früheren Schrift berührt (Ann. d. l'éc. norm. (2) XII, 1883, p. 301 ff.) 

 aber dabei eine ganz andere Methode benutzt. Näheres hierüben unten. 



° Diese Relation wurde auch von Guichard in der soeben erwähnten Schrift aufgestellt. 

 Beiläufig sei hier bemerkt, dass wenn tp und (]' ganze Funktionen sind, die Lösbarkeit des 

 Systems (5) durch eine ebenfalls ganze Funktion f{z) noch eine fernere Relation zwischen <p und <^ 

 erfordert, wie auch schon Guichard bemerkte. S. unten. 



(5) 



/(^+ l)--/(^) = 'f(^) 

 f[z + ^) - f{,) = ^\[z) 



(6) 



9(^ + /) - 'x(^) ^ ^(^ + 1)-'K^) 



