Einige Anwendungen diskontinnierliclier Integrale auf Fragen der Differenzenrechnnng 7 



für sich lösbar seiu. Wenn aber dies vorausgesetzt wird, so lässt sich das System, 

 wenigstens wenn es sich um eindeutige Lösungen handelt, auf ein einfacheres zurück- 

 führen. Es sei nämlich F{e) eine eindeutige Funktion, welche etwa der zweiten der 

 Gleichungen (5) genügt. Die allgemeinste eindeutige Lösung dieser Gleichung ist 

 dann bekanntlich F{s) -|- P(^), wo P(z) eine beliebige eindeutige Funktion mit der 

 Periode / bedeutet. Es gilt nun P so zu bestimmen, dass auch die erste der Gleich- 

 ungen (Ô) durch F + P befriedigt wird. Man hat also P -)- P in dieser Gleichung 

 statt /{s:) einzusetzen. Wenn man überdies die genannte Periodicität von P zum 

 Ausdruck kommen lässt, gehen für P folgende zwei Bedingungsgleichungen hervor: 



P(^+1)-P(^) = cp(^) + F(^)-F(^+1) 

 ^ ' P{0 P{z)^0\ 



Da P die Periode i hat, gilt dies natürlich auch für P{z +1) — P(z) und somit 

 auch für (p{s) + F{s) — F(s -f 1). Drückt man aber dies aus und beachtet, dass F{2) 

 der zweiten der Gleichungen (5) genügt, so erhält man wieder eben die Bedingungs- 

 gleichung (8), welche wir schon als erfüllt vorausgesetzt haben. Hierbei ist ausser- 

 dem zu bemerken, dass auch wenn P eine mehrdeutige Lösung des Systems (7) ist, 

 die Summe F -\- P eine (mehrdeutige) Ijösung von (5) giebt. Dasselbe gilt ebenfalls 

 wenn F mehrdeutig, aber P eindeutig ist, was jedoch hier ohne Bedeutung ist. Aus 

 leicht ersichthchen Gründen, kann man es aber nicht unbedingt behaupten, wenn 

 beide mehrdeutig sind. 



3. Wir setzen nun ausdrücklich voraus, dass F[z) eindeutig sein soll, und 

 schreiben das System (7), worauf sich (5) reduciert hat, mit veränderten Bezeich- 

 nimgen in der Form 



(8) ^ïVtirrf (*+■'■)='*)! 



Für die Behandlung dieses Systems sind verschiedene Methoden denkbar. In 

 dieser Hinsicht sei zunächst folgendes bemerkt. Die erste der beiden Gleichungen 

 kann man, rein formal gesehen, durch den Ausdruck 



Ä(^) = 'f(^-l) + '#-2) + (p(^-3) + 



befriedigen, sowie auch durch 



T{z) = — — 's(z + 1) — ï(^ + 2) 



(und dies gilt ganz unabhängig von unserer jetztigen Annahme über die Periodicität 

 von (p). Wenn nun die Reihe S resp. T gleiehmässig konvergiert, so erhält man 

 unmittelbar eine (analytische) Lösung der in Frage stehenden Gleichung. Diese 

 Konvergenz ist aber nur ein Ausnahmefall. Aber es ist ein nahe liegender Ge- 

 danke, dass man in den Divergenzfällen durch irgend ein geeignetes »Summatious- 

 verfahren» zu brauchbaren Ausdrucken gelangen könnte ^. Nach Mitteilungen von 



1 Vgl. Guichard's Schrift von 1887 p. 371. 



^ Vgl. meine obengenannte Schrift (Bern. üb. sog. finite Integration) p. 20. 



