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T. Brodén 



meinem neuen College in Lund Prof. N. E. Nörlund hat er mit sehr bemerkens- 

 wertem Erfolge diesen Gedanken näher verfolgt, und ich erwarte mit grösstem In- 

 teresse die Veröffentlichung seiner in dieser Richtung gehenden Untersuchungen. 



Was nun unseren jetztigen Fall betrifft, so ist es zunächst unmittelbar klar, 

 dass S{z) bez. T'(^) im Falle von Konvergenz eine Lösung der ersten der Gleich- 

 ungen (8) giebt, welche auch die zweite befriedigt, d. h. die Periode i hat: da näm- 

 lich cc(^) diese Periode hat, so gilt dasselbe für jedes Glied in S bez. T und somit 

 auch für die konvergente Reihe. Und im Divergenzfalle ist es wohl wahrscheinlich, 

 dass, insofern irgend eine » Summation >; in Frage kommen kann, dieselbe sich so ein- 

 richten lässt, dass die erwünschte Periodicität erreicht wird. Aber ich will mich hier- 

 über nicht näher äussern, da Nörlünd's Untersuchungen noch nicht publiciert sind. 



Eine andere denkbare Methode wäre die folgende. Man setze voraus, dass 

 9(2:) wenigstens innerhalb eines vertikalen Bandes mit Breite > 1 in eine Reihe 



entwickelbar sei, wo die Funktionen cc ebenfalls die Periode i haben und überdies 

 SO beschaffen sind, dass die Funktionalgleichungen 



/>+l)-/„(^)==<P„(^i 



unabhängig von n relativ leicht lösbar sind, imd dies so, dass auch /^^ die Periode 

 i bekommt. Wenn dann die Reihe 



c» 



0 



innerhalb des besagten Bandes konvergiert, so erhält man eine Lösung des Systems 

 (8), welche in diesen Bande durch diese Reihe selbst definiert ist und ausserhalb 

 des Bandes durch ihre analytische Fortsetzungen. Diese Methode hat in der Tat 

 schon Herr Guichard in seiner Schrift von 1883 angewandt, obgleich nur für den 

 Fall, dass eine ganze Funktion mit der Periode i ist und somit eine unbe- 



schränkt gültige FoFRiER'sche Entwickelung zulässt. Vgl. übrigens unten. 



4. Wie schon angedeutet, ist es aber unser jetztiger Hauptzweck, die mögliche 

 Anwendbarkeit einer dritten Methode, nämlich derjenigen mit unstetigen Integralen, 

 näher zu betrachten. Man kann es ja versuchen, ein Integral der Form (2) in ana- 

 loger Weise wie oben zu benutzen, obgleich mit veränderten Bedingungen für die 

 Funktion L(w.). Die Methode erfordert, wie vorher, dass L{u) die Periode 1 haben 

 soll (über eine mögliche Modifikation der Methode s. unten). Aber die erwünschte 

 Periodicität von f{z) in vertikaler Richtung erfordert nun andererseits auch, dass 

 L{u — z) die ^-Periode i, und somit L{u) die «-Periode i hat. Es soll also L{u) eine 

 (eindeutige) doppeltperiodische Funktion sein (mit Perioden 1 und i). Wenn man 

 nun über die ganze Situation nachdenkt, so findet man leicht, dass zwei bekannte 

 Eigenschaften der doppeltperiodischen Funktionen für die Anwendbarkeit der Me- 

 thode gewissermassen hindernd im Wege stehen: einerseits ist die Ordnungszahl (w) 



