Einige Anwendungen diskontinuierlicher Integrale auf Fragen der DifiFerenzenrechnung 9 



[= »Anzahl inkongruenter Pole»] immer > 1, andererseits müssen die zu n inkon- 

 gruenten Polen gehörenden Residuen die Summe Null haben (zufolge dieser beiden 

 Eigenschaften ist es unmöglich, dass (f(u) innerhalb eines Periodenparallelogrammes 

 nur eine Stelle mit einem von Null verschiedenen Residu haben sollte, was jetzt 

 von wesentlicher Bedeutung wäre Wir können uns indessen auf folgende Weise 

 einrichten. 



Es sei L{u) eine doppeltperiodische Funktion zweiter Ordnung (Perioden 1 und i) 



mit den zwei inkongruenten Polen u = 0 und u = —. In m = 0 sei der Residu = 



1 . i \ 



= ,T-^, und demzufolge in m = ,t gleicli — t—.. Dann nehmen wir ein Integral 



der Form (2) und bestimmen dabei den Integrationsweg in folgender Weise. Die 

 untere Grenze sei (der Einfachheit wegen) gleich Null, und die obere gleich ik, wo 



0 < ^ < ^ , und der Integrations^veg sei die geradlinige Strecke zwischen diesen beiden 



Stellen. Wir schreiben also 



ik 



H{z) — jf{u) L{u — d) dti . 



0 



Nun bewege sich 2 längs einer horizontalen Linie mit der Ordinate y. Dann 

 giebt es, oder giebt es nicht — je nach den Umständen — eine Stelle u des Inte- 



grationsweges, für welche u — ^ = 0 modd. 1, i oder =^ modd. 1, i werden kann, 



was damit gleichbedeutend ist, dass L[u — s) einen Pol (erster Ordnung) bekommt. 



Es sei in der Tat zuerst 0 < < ä;. Wenn dann u = iy und x = n (w = 0, 



± 1, +2....), so wird u — z = — n, also u = s kongruent mit Null. Eine Kon- 



i . 1 . 



gruenz mit ^ kann nicht vorkommen, da < 0 ist. 



Zweitens sei < «/ < ^ . Dann ist weder Kongruenz mit 0 noch Kongruenz 



mit 2 möglich. 



1 !.. . i 



Wenn drittens 0 < < ^ + ^ ist, so wird w — z kongruent mit ^ , sobald u = 



1 



— iy — ^ und x = n (n = 0, +1, ± 2, . . . .), aber Kongruenz mit 0 kann nicht 



Li 



stattfinden. 



1 . . i 



Und im Bande k -\- y <. \ ist wieder keine Kongruenz mit 0 oder mit ^ 



möglich. 



1 Die Heranziehung von doppeltperiodischen Funktionen mit endlichen wesentlich singu- 

 lären Stellen kann hier nicht helfen, da auch bei solchen das letzterwähnte Verhältniss nicht statt- 

 finden kann. 



Lunds Universitets Åisakrift. N. P. Afd. 2. Bd 8. 2 



