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T. Brodén 



Oberhalb und unterhalb des Bandes 0 <y < 1 setzen sich diese Verhältnisse 

 periodisch fort. 



Aus diesen Umständen ergiebt sich in analoger Weise wie oben bei einer einzigen 

 gegebenen Gleichung, dass H(jz) in folgender Weise unstetig ist. Es bedeute S^^ 

 die geradhnige Strecke mit den Endpunkten 



t % 



z — n p . - und ^ = « + p . ^ -(- H 



^[ = 0, ±1, ±2,.... 



Wenn nun P ein Funkt einer Strecke S^^ mit geradem ^j-Werte ist, sagen wir mit 

 dem .2f-Werte n-\-yi, so giebt es in der Integrationslinie einer Stelle m, nämlich 

 u = [y — [y]) • i für welche u — z mit Null kongruent ist, und also L{u — z) einen 

 Pol hat, u. zw. mit dem Residn 1 : 27ri Und ganz wie oben ergiebt sich, dass — 

 mit denselben Bezeichnungen wie dort — an der Stelle P die Diskontinuitätsgleichung 



Hj(n 4- iy) — + iy) = cp{(z/ — [y])i} = ^[iy] 



besteht (man erinnere sich die Periodicität von ■t). 



Wenn dagegen p ungerade ist, so wird u — s für eine Stelle u der Integrations- 

 linie mit ^ kongruent, nämlich für n = — [y] — . i. Demzufolge tritt eine ähn- 

 liche Unstetigkeit ein; da aber der Residu jetzt — — 1 : 2ni ist, hat man eine Zeichen- 

 änderung anzubringen: es wird 



Bin + iy) — H^{n + iy] = — cpj — [t/j — |j i| = — tpj — |j ij = — tp|y + ^ i| . 



Analog wie oben, denken wir uns jetzt in der .^Ebene die Linien 8^^ als 

 Schnitte eingeführt. Innerhalb des dadurch entstehenden Bereiches hat H{z) überall 

 einen bestimmten endlichen Wert, und es ist immer H[s -|- 1) = H{s), sowie auch 

 H{2 -\- i) — H{z). Wenn man dagegen die Schnitte überschreitet und dabei H{z) 

 anal3'tiseh foi-tsetzt, so gestalten sich die Wertänderungen in folgender Weise. Man 

 gehe von z nach z -\- 1 und überschreite hierbei den Schnitt S^^ von links nach 

 rechts. Mil Benutzung der Funktionsbezeichnung f(z) erhält man, falls p gerade ist 



f{z) = H{z). f{z + 1) = B[z) + _ n + 1), 



aber wenn p ungerade ist, 



/(^) = B[z), f{z + 1) = B{z) -r^L + l-n^l 



Man findet dies in ganz derselben Weise wie das entsprechende bei einer einzigen 

 gegebenen Gleichung (s. oben). 



Und ganz wie oben leitet man hieraus folgendes ab. Man bezeichne mit A^^ 

 bez. B^^ den oberen bez. unteren Endpunkt der Strecke S^^. Ein Umgang um 

 eine Stelle A^^ oder B^^ giebt folgende Wertänderungen. Man gehe von einer 



