Einige Anwendungen diskontinuierlicher Integrale auf Fragen der Differenzenrecbnung 11 



beliebigen Stelle z mit einem bestimmten Werte von f{z) aiis und beschreibe einen 

 geschlossenen Weg, welcher einen Punkt A^^^^ im |)ositiven Sinne oder einen Punkt 

 im negativen Sinne umkreist (aber keine anderen Stellen A oder B . um- 

 schliesst). Daun kommt man zu ^ mit dem Werte 



f{z) -|- — n) 



zurück, wenn p (ferade ist, aber mit 



f{z) — tp|^ 4- ^ - 



wenn p ungerade ist. 



Dies gesetzt, ergiebt es sich von selbst, wie die Funktion sich ändert, wenn 

 man von 0 nach ^ + 1 geht und dabei eine Ijinie S überschreitet. 



Und der ganze WertvoiTath der Funktion f{z) lässt sich so darstellen: 



f{z] H{s) + V m - n) + Sm^ + | — n j 



(m, n. , = 0, +1, ± 2 . . . .) . 

 Für die Differenzfunktion ergiebt sieh hieraus 



r S ^(^ + 1 — n) — tp(^ — 2) 



/(^ + l)-/(^)= , ■ / i 



5. Wenn man nun zu einer eindeutigen Funktion f{z) übergehen will, welche 

 den Gleichungen (8) genügt, so kann dies, zufolge der Periodicität von 'f(M) und L{u) 

 in der vertikalen Richtung, offenbar nicht so erreicht werden, dass man (wie oben) 

 die Integrationslinie unendlich verlängert. Dagegen kann man unter einer gewissen 



Voraussetzung folgendermassen verfahren. Es wurde ^ < h vorausgesetzt. Wir 

 denken uns nun, dass h sich unbegrenzt dem Werte ^ nähert. Dann ändert sich 

 die Funktion f{i) und nähert sich unbegrentzt an eine dem Ä;-Werte ^ entsprechende 



Li 



Funktion, welche — der Natur der Sache gemäss — noch eine wirkliche analytische 

 Funktion ist. Andererseits fallen die Verzweigungsstellen für ^ = i zu zwei und 

 zwei zusammen: A rückt in 5 , , hinein. Nun gilt es ia, nach dem oben ge- 

 sagten, für ^<-\-, dass wenn man einen positiven Umlauf um die beiden Stellen 

 A^^ und -B„ macht, der Anfangswert f{z) um 



2 ^ 



vermehrt wird, mit -|- für gerade, — für ungerade p. Dasselbe gilt dann notwendig 



1 

 2 



auch, wenn man bei ^ = die Stelle B^^ ^_^^ = A^^ in positiver Richtung umkreist. 



