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T. Brodén 



Aucli für k — ^ wird also f(s) im allgemeinen mehrdeutig. Aber in einem wichtigen 



Specialfalle tritt doch Eindeutigkeit ein, nämlich in dem Falle, dass '!^{z) nicht nur 

 die Periode i hat, sondern auch in solcher Weise periodisch ist, dass 



(9) 'f(^ + |) = -'fH 



ist (woraus die Periodicität folgt). Dann führt ja nämlich die Umkreisung der ge- 

 nannten Stellen, welche die einzigen möglichen Verzweigungsstellen sein könnten, 

 zu keinen Wertänderungen, woraus die Eindeutigkeit folgt, da ja auch keine laku- 

 nären Gebiete vorkommen können. 



6. Wenn also die oben angewandte Methode nur in dem angezeigten Falle 

 direkt anwendbar ist, wenn man eine eindeutige Lösung des Systems (8) erwünscht, 

 so ist doch eine mehr indirekte Anwendung derselben unter gewissen Voraussetz- 

 ungen möglich. 



Zuerst denken wir uns, dass ^{z) zwar nicht die Eigenschaft (9) hat, aber statt 

 dessen die Bedingung 



(10) 'f + i) = - ^f(^) 



erfüllt, wo n eine ganze Zahl > 1 bedeutet. Dann ist nicht nur i sondern schon 



Periode für Man betrachte das System 



n . 



f\z + 1) - f[z) = 9(^) 



(11) 



4 + ^)-/(^) = 0, 



Die obige Methode kann man hier direkt benutzen, um eine eindeutige Lösung zu 



bekommen: dass - an die Stelle von % getreten hat, ist ein ganz unwesentlicher 



n 



Umstand (man bat nur die Strecke O...7— statt 0...^ als Integrationslinie zu be- 



In i 



nutzen). Und andererseits ist jede Lösung von (11) auch eine Lösung von (8), ob- 

 gleich nicht umgekehrt. 



Zweitens kann tp(^) aus einer endlichen Anzahl von Gliedern zusammengesetzt 

 sein, von denen jedes einer Bedingung (9) oder (10) — oder kurz einer Bedingung 

 (10), wenn man hier auch den Wert w = 1 zulässt — genügt. Dann hat man nur 

 jedes Glied nach unserer Methode zu behandeln, und nachher zu addieren. 



Drittens ist es möglich, dass innerhalb eines vertikalen Bandes mit Breite 

 > 1 in einer unendlichen Reihe entwickelbar ist, deren Glieder die Eigenschaft (10) 

 haben (mit verschiedenen w, >^ 1). Auch dann kann man jedes Glied für sich be- 

 handeln und nachher addieren, obgleich die unendliche Anzahl der Glieder eine 

 Konvergenzfrage mit sich führt. Wenn aber die erhaltene Reihe wirklich konvergiert, 



