Einige Anwendungen diskontinuierlicher Integrale auf Fragen (ier Differenzenrechnung 13 



so ist auch die Eindeutigkeit, der dadurch definierten analytischen Funktion gesichert 

 (obgleich diese Eindeutigkeit natürhch niciit ohne weiteres ans der Eindeutigkeit der 

 ReihengUeder folgt). Aus der Annahme über die Breite des vertikalen Bandes (> 1) 

 folgt nämlich, dass die analytische Fortsetzung über das Band hinaus ganz einfach 

 durch successive Anwendung der Funktionalgleichung f[z -j- 1) = f{z) -(- <^[z) ver- 

 mittelt werden kann, was in Betracht der Eindeutigkeit von '^{z) zu Eindeutigkeit 

 von f{z) führt. 



Wir fallen also auf die schon oben (p. 8) erwähnte Methode zurück, welche 

 als die Methode mit Reihenentwickelung (von cc) nach periodischen Funktionen be- 

 zeichnet werden kann. In diesem Zusammenhange haben wir uns aber gedacht, 

 dass man die einzelnen Glieder nach der Methode mit unstetigen Integralen behan- 

 deln sollte. Selbstverständlich können jedenfalls unter gewissen Voraussetzungen 

 andere Methoden einfacher sein. Und namentlich gilt dies in dem vorzugsweise 

 einfachen Falle, dass ^[s) in irgend einem vertikalen Bande von Breite > 1 in eine 

 FoußiEß'sche Reihe entwickelbar ist, also in eine Reihe der Form 



(p(^) = 4- cpj(^) + 'j^^z) + .... + cp^(^) + . . . . 



wo 



bedeutet. Mit Ausnahme für das erste Glied a^, welches eine besondere Behandlung 

 erfordert (s. unten), hat hier jedes Glied die Eigenschaft (10), nämlich so dass (c^ 

 für ungerades n sogar die Bedingung (9) erfüllt aber für gerades n die Bedingung 

 (10) eben mit dem Werte n. Wenn man aber ausschhesslich eine eindeutige Lösung 

 nachstrebt, so kann hier eine Methode wie die genannte natürlich nicht in Frage 

 kommen, da die Funktionalgleichung f^z + 1) — j\^z) = e" die altbekannte ein- 

 deutige Lösung 



e — 1 



besitzt, und da es andererseits sehr leicht zu beweisen ist, dass die unter Anwendung 

 hiervon erhaltene Reihe der im Konvergenzbande der ip^-Reihe konvergiert. Man 

 siehe hierüber Güichard's Arbeit von 1883 (p. 364); freilich setzt G. hier voraus, 

 dass (p eine ganze periodische Funktion ist und also eine für die ganze Ebene gül- 

 tige FouRiER'sche Entwickelung zulässt; aber dies ist, wie man leicht findet, ohne 

 wesentliche Bedeutung. Was endlich das bisher nicht berücksichtigte konstaute Glied 

 betrifft, so kann man in folgender Weise eine eindeutige und z-periodische Lösung 

 der Funktionalgleichung /o(2' -j- 1) — /o(^) = «o finden. Die zu einer WEiEKSTRASs'schen 

 p-Funktion mit den Perioden 1, i gehörende WEiERSTRAss'sche C-Funktion hat die 

 Eigenschaft 



C(^+ \) — Ç[z) = a 

 C(^+ ()-C(^)-6, 



wo a und h gewisse Konstanten sind. Hieraus folgt, dass ^\{z) — + ihs die 

 Periode i hat und andererseits die Funktionaleigenschaft '^{z + 1) — ^[s) = a -\- bi. 



