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T. Brodén 



Multipliciert man <]> mit : (a + hi), geht eine Funktion mit den für /g erwünschten 

 Eigenschaften hervor. — Es sei hier bemerkt, dass die so bestimmte Funktion 

 gewisse Pole hat, also nicht eine ganze Transcendente ist. Es ist auch leicht zu finden, 

 dass das System (8) keine ganze Lösung haben kann, wenn cp(^) eine Konstante ist 

 Wenn nämhch G(^) eine ganze Lösung wäre, so sollte das Integral / G{z) dz längs 

 des Randes des Quadrates 0, 1 , 1 + ^, * genommen gleich Null sein. Aber dies 



i 



Integral reduciert sich, wie unmittelbar ersichtlich ist, auf das Integral j'f{0)dz und 



0 



kann also nicht verschwinden, falls tp konstant ist. Es gilt auch allgemeiner, dass 

 eine ganze Lösung des Systems (8) nicht möglich ist, wenn eine ganze Funktion 

 (mit der Periode i) ist, deren FouRiERsehen Reihenentwickelung ein von Null ver- 

 schiedenes konstantes Glied enthält. Vgl. liierüber Guichabd's Schrift von 1887 

 p. 370 — 72, wo den allgemeineren Fall eines Systems der Form (ö) direkt betrachtet 

 wird, was für die als ganz angenommenen Funktionen 'f und «|j die Integralbedingung 



i 1 



j^dz = j^dz 



0 0 



ergiebt, wenn eine ganze Lösung möglich sein soll. 



i 



Andererseits können wir konstatieren, dass die Bedingung / cp dz offenbar er- 



0 



füllt ist, wenn cp die Eigenschaft (9) bez. (10) hat. Dies stimmt damit überein, dass 

 in diesem Falle die Methode mit unstetigen Integralen direkt bez. nahezu direkt 

 (s. oben) anwendbar ist, auch wenn man eine eindeutige Lösung erwünscht. Denn 

 diese Methode giebt, wie unmittelbar ersichtlich ist, immer eine ganze Lösung, wenn 

 tp ganz ist; und allgemeiner: eine durch diese Methode erhaltene eindeutige Lösung 

 hat keine Singularitäten, welche nicht von Singularitäten bei cp bedingt sind ^ 



7. Durch die obige Darstellung ist selbstverständlich nicht bewiesen, dass man 

 die angewandte specielle Form der Methode mit unstetigen Integralen nicht in irgend 

 einer Weise so modificiereu könnte, dass die direkte Anwendbarkeit auf die eben 

 betrachtete Aufgabe weniger beschränkt würde. Doch ist dies kaum der Fall. In 

 dieser Hinsicht werde ich aber nur ein Paar Bemerkungen hier folgen lassen. 



Man nehme ein Integral der Form 



i 



H{0) = j L{v — 2) du, 

 ü 



wo L(m) eine doppeltperiodische Funktion von der oben angenommenen Beschaffen- 

 heit bedeutet, und p(m) eine vorläufig unbestimmte eindeutige Funktion. Ganz ähn- 

 lich wie oben, erhält man dann mit Ausgangspunkt vom Integrale H{s) im Bande 



^ Der Vollständigkeit wegen sei hier daran erinnert, dass Appell (schon 1882, Math. Ann. 

 Bd 19) eine auf Reihenentwickelung gegründete Methode für Lösung eines System der Form (8) 

 angegeben hat, welche sicli namentlich auf den Fall bezieht, dass tif[z) eine beliebige rationale 

 Funktion von e^''^ ist. 



