Einige Anwendungen diskontinuierliciier Integrale anf Fragen der Differenzenrechnnng 15 



0 <r a: < / eine monodrome Funktion f{si); da aber jetzt die Integrationslinie eine 

 volle Periodenstrecke ist, und also für eine Stelle z = iy^ u — z = 0 ist, wenn u = iy, 



aber u — z=^. wenn « = + ^ (es handelt sich ja nur um Stellen der Integra- 



tionslinie, und njan soll daher -|- oder — nehmen, je nachdem y <: oder > 2]' ^° 

 wird jetzt 



/(^ + l)-/(^) = p(^)-p(^ + ^). 

 Also wird die erste der Gleichungen (8) erfüllt, wenn 



(12) p^^ + IJ _ p(^) = _ ^(^) 



ist. Hierbei ist im Quadrate 0<£t;<l, 0<</<l f[z) — H{g) angenommen (vgl. 

 oben). Im ganzen vertikalen Bande 0 < x < 1 setzt sich H{z) periodisch fort, und 

 zwar so, dass H{2) auch die analytische Fortsetzung von f{s) repräsentirt (dass p{u) 

 im allgemeinen nicht die Periode i hat, bedeutet hierbei nichts). Hieraus folgt un- 

 mittelbar dass f(e) überhaupt sich nach der Periode i fortsetzt, wenn man vom 

 Bande 0 <y < 1 in vertikaler Richtung fortschreitet. Also erhält man eine Funktion 

 f{z), welche auch der zweiten der Gleichungen (8) genügt. Und diese Funktion ist 

 überdies eindeutig: dies ist eine unmittelbare Folge davon, da^s H{3) überall auf der 

 Linie a; = 0 den »Sprung» — cp(?«/) macht, was jeden Grund für die Entstehung von 

 VerzweigungssteUen aufhebt (vgl. oben). Auch hier kann man zu dieser eindeutigen 

 Funktion durch Grenzübergang mit einer mehrdeutigen (einer Integrationsstrecke 

 0 .... i — S^ entsprechenden) gelangen, was wir doch der Kürze wegen nicht näher 

 ausführen werden. — Beiläufig sei bemerkt, dass wenn die obengenannte Be- 

 dingung (9) erfüllt, p die Periode i hat und umgekehrt, was durch Iteration der 

 Funktionalbedingung (12) unmittelbar hervorgeht. 



Auch die Anwendung eines in dieser Weise modificierten Integrals H[z) führt 

 also nicht direkt zu einer Lösung des Systems (8). Aber andererseits sehen wir, 

 dass man durch diese Modifikation der Methode die ganze Sache auf die eindeutige 

 Lösung einer einsigen Funhtionalgleichung der in Frage stehenden Form [Gl. 1] redu- 

 cieren kann, und dies ohne irgend eine fernere beschränkende Annahmen über die ge- 

 gebene periodische Funktion (p(^). 



8. Eine in anderer Richtung gehende Modifikation der Methode ist die folgende. 

 Man kann dieselbe so verallgemeinern, dass L{u) nicht die Periode 1 hat, sondern 

 die Eigenschaft 



(13) L{u 1) = a L{u) 



Wir nehmen zunächst an, dass L{m) auch nicht die Periode ? hat, aber folgende 

 Eigenschaften besitzt: L{u) sei eindeutig, habe für u = 0 einen einfachen Pol mit 



Residu = — und somit an jeder Stelle u — n {n == ± 1, ±2 ) einen Pol mit 



