16 T. Brodén 



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Résidu = 2iti ' ^''^^^ sonst überall regulär. Wenn man dann das Integral 



ik 



H{z) — y (p(?<) L[u — s) du , 



ih 



mit beliebiger eindeutiger '^[u], bildet, so giebt H{g), über das Gebiet 0<x<\, 

 JKy <J( hinaus in horizontaler Richtung analytisch fortgesetzt, einen im ganzen 

 Bande Jk y < k monodromen Funktionszweig /(«) mit der Funktionaleigenschaft 



(14) /(^+ l)_.a/-(^) = ^(^), 



was sich in ganz analoger Weise wie oben für den Specialfall a = 1 ergiebt. Und 

 auch jetzt ist die vollständige Funi<tion f{z) unendhch vieldeutig, aber man kann 

 unter gewissen Voraussetzungen durch den Grenzübergang h = — od, =r -)- oo eine 

 eindeutige Lösung der Funktionalgleichung (14) erhalten. 



Die so erweiterte Methode lässt sich jedenfalls unter gewissen Voraussetzungen 

 (auf welche wir hier nicht näher eingehen werden) auch für die Lösungen von 

 Systemen der Form 



/(^ + 1) — af(z) = f(z) 



(15) (a, b Konstanten) 



anwenden, wobei die Eigenschaft 



f{z -\- i) — b f{z) = 0 



haben soll (wie leicht ersichtlich ist). L(u) muss dann die beiden Bedingungen 



L{u + 1) — aL{u) 

 L(u i) = h L[u) 



erfüllen und somit, wie man ohne weiteres findet, die Form 



L[u) = e ^ ' 



haben, wo P(m) eine doppeltperiodische Funktion bedeutet (Perioden 1 und i). Wir 

 werden dies nur durch folgendes einfache Beispiel erläutern. Man nehme a = — 1, 

 t = 1 ; betrachte also ein System der Form 



/(^+ 1)+/(^) = 9(^) 



/(^ + ^•)-/(^) = 0, 



wo '^[z] die Periode i hat. Es sei L[\i) eine doppeltperiodische Funktion zweiter 

 Ordnung mit den Perioden 2 und welche die beiden Pole « = 0 und u = 1 hat, 



mit den zugehörigen Residuen — und -|- ^ . Dann erhält man mittels des 

 Integrals 



i 



2 



E{z) = I fp(M) L(m — z) du 



0 



eine Lösung des Systems (15), welche eindeutig ist, da überall auf der Linie x = 0 



