§ 1. Il arrive quelquefois qu'une question d'analyse se ramène à la déter- 

 mination de la limite d'une expression analytique et que cette expression ne tende 

 vers aucune limite déterminée mais se rapproche indéfiniment d'un nombre fini ou 

 d'une infinité de valeurs. C'est par exemple le cas si l'on arrive à représenter une 

 fonction par une série divergente ou par une intégrale divergente. Il n'y a pas 

 lieu de rejeter une série parce qu'elle diverge. Si elle est sommable on peut s'en 

 servir tout aussi bien que d'une série convergente. On a imaginé plusieurs mé- 

 thodes pour sommer une série divergente Et, en effet, il est nécessaire d'en 

 avoir plusieurs et même d'en avoir une infinité si l'on veut pouvoir sommer toutes 

 les séries dont il y a intérêt à s'occuper. Mais une question importante se pose 

 alors. Si l'on applique l'une ou l'autre de ces méthodes de sommation est ce qu'on 

 arrive toujours à un même résultat. En d'autres termes la définition de la valeur 

 d'une série ou d'une intégrale divergente est-elle unique? C'est là un problème 

 qu'on n'a point résolu jusqu'ici et qui présente des difficultés sérieuses. Le but 

 de cette Note est d'étudier cette question dans un cas assez étendu, mais j'ai laissé 

 de côté d'autres cas, qui sont très intéressants, et je vais revenir sui- la question 

 plus tard. 



Soit une fonction bornée et intégrable sur l'intervalle a^^<^[i quelque 

 grand que soit [x. Faisons tendre s vers l'infini. Si la fonction ne tend pas 

 vers une limite on peut pourtant essayer de lui attribuer une limite nioyome en 

 prenant en considération l'ensemble des valeurs que prend ij[z) pour les valeurs 

 très grandes de s. Par exemple formons la moyenne 



et. faisons tendre [j. vers l'infini. Si cette expression tend vers une limite / je dis 

 que i^{z) admet une limite moyenne égale à l. Mais cette définition de la limite 

 moyenne est trop restreinte. Plus généralement on peut attribuer un différent 

 poids aux diverses valeurs de <^[z) et former une moyenne de la forme 



' Voir le beau livre de M. Bokel: Leçons sur les séries divergentes. Paris 1901. 



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