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N. E. Nörlund 



1^ 



♦ I • (!) 



a 



Je suppose que la fonction p{0, p.) satisfait aux conditions suivantes: 

 1°. Elle est continue et positive, si a ■< < [J- ■< Qc. 



2". On a lim fp{s, [x)r?^> 0. 



|X — > CO „, 



3^. Soit n un nombre fixe quelconque plus grand que a on a 



n, 



lim ;:=0. 



Ip{0, i>.)cb 



a 



Cela posé, faisons tendre [x vers l'infini dans l'expression (I). Si cette ex- 

 pression tend vers une limite l je dis que '\>{z) admet une limite iiioyenne égale 

 à l, quand s tend vers l'infini. Pour abréger je désigne la limite moyenne par 

 le symbole Im <!^[s). On a donc par définition 



H- 



\m (|;(0) = lim '1 . 



a 



On voit immédiatement qtie la limite moyenne Im ({j(^) est égale à la limite or- 



Z H- > 00 



dinaire lim '^{z), si cette dernière limite existe. Mais l'inverse n'a pas lieu, car il 



Z 1 — > 00 



arrive bien souvent que la limite moyenne existe, p étant convenablement choisie, 

 mais qu'il n'en est pas ainsi de la limite ordinaire. 



Comment faut il maintenant choisir la fonction p pour que la définition de la 

 limite moyenne soit unique? Pour le faire voir je démontre d'abord le théorème 

 suivant. Soient p^{s, [x) et {j^{z, (x) deux fonctions qui satisfont aux conditions que 

 nous venons d'énumérer. J'en forme une nouvelle fonction Pjgl'^', [J^), définie de la 

 manière suivante 



[X. 



Pl2(^. \')= ){4^, t)?2{f^ P-)'^^ 



2 



et je dis qu'on a 



[1. n 



I Pi2(^' Mz)dz f Pi(^, \i')'K^)d£: 



lim 'j, — lim ^ ^ (4) 



fil — >• 00 |J- fj.1 — >■ 00 fJ- 



a a 



si la limite au second membre existe. 



