fSiir Ullo application des I'oiicLioiiy peiiiiutables 5 



En effet on a 



a as a a 



fJ- IJ; I'- iL t 



f Pi2(^> =j^^ I Pi(^. ^)P2(^ fJ-)^^ = / P2(^' 1^') /Pi(^' ¥^dt . 



f ft z a a 



Supposons que le second membre de (4) tende vers une limite Hnie /. 

 Soit £ un nombre positif, on sait trouver un nombre n tel que 



(/ — £)] Pj(^, l,.)d^ < f pj(^, i,.y]^{s)ds < (/ 4- s)/p,(^, ^.)ds, si [j. > n. 



a a a 



On cl par conséquent les inégalités suivantes, K et k étant deux constantes 



[J; Il t n t 



/Pl2(^. <il+ s) / P2(^. / ¥^dt -\- Kj lJ,{t, 11) /■ p^(^, = 



a ft n a a 



\>. t n t 



{l + s) /p2(^- I Pi(^> 0'^^^^^ + {K— ^ — s) / P2(^> 1^0/ Pi(^, t)dsdt. 



n a u a 



[i. (Xi n t ^ 



/Pi2(^' >{l — s)J p^{t, [j,) / p,(^, t)dedt -\- {k — l -\- e) f p.ß, \).) / t]dzdt . 



a a a a a 



Il en résulte que 



H- 



/ Pi2(^. \>'M^)ds 



Z - s + + s)P(i,.)<"- <l + s + (7f _ / - s)P([.), (5) 



r 



o 



OÙ l'on a posé 



n t 



\y t 

 /p2('. !^) / Pi(^. 



fi et 



mais des conditions c^ue nous avons imposées aux fonctions p^ et pg il résulte que 



lim P{]x) = 0. 



jX 1 — > 00 



Faisons tendre [j. vers l'infini dans l'inégalité (5), on trouve le résultat voulu. 

 On démontre de même que, si le second membre de (4) tend vers l'infini il en 

 est de même du premier membre. 



Cela posé rappelons la définition suivante. On dit que deux fonctions pj(^, jj.) 

 et p.-J^z, [x) des variables z et [j. sont permutables de première espèce si elles satis- 

 font à la relation 



(X (X 



jpl(^, 0P2(^ V')dt =/p2(^, OPi(^ V')dt. 



