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N. E. Nörlund 



On sait que M. Voltekra a étudié les propriétés des fonctions permutables. 

 Soit maintenant un ensemble de fonctions permutables [x) qui satisfont aux 

 conditions 1°, 2° et 3°. Je dis que la définition (2) de la limite moyenne est unique, 

 p étant une fonction appartenant à cet ensemble. Eu effet soient , et deux 

 fonctions appartenant à notre ensemble. Supposons que le second membre de (2) 

 tende vers la limite , si p = , et vers la limite l^ , si p = pg . Je veux démontrer 

 que ces deux limites sont égales. Formons par composition les fonctions 



\^ 



Du théorème que nous venons de démontrer il résulte que le second membre 

 de (2) tend vers la limite l^, si p^p^^, et vers la limite l^, si p = p^^. Mais 

 comme Pi2 = P2i' ^ nécessairement 1^ = 1^ c. q. f. d. 



On peut aller plus loin et choisir plusieurs ensembles de fonctions de la nature 

 susdite et on démontre que la limite moyenne est la même dans l'un et l'autre de 

 ces ensembles. 



§ 2. Pour arriver à la déûnition d'une intégrale divergente posons 



= j ^{x)dx . 



a. 



On a par définition 



00 _ ^ 



/ f(x)dx = lim / f{x)dx . 



a z I — >■ 00 a 



Mais on peut adopter une définition plus générale en posant 



ce 



/ ^{x)dx — Im ff{x)dx. 



a z — >- cx> a 



On a donc 



00 l'^{x)\p[z,^]dzdx 

 ■ / f{x)dx = lim 



/ p{2, \l.)d0 

 a 



pourvu que la limite au second membre existe. 



On trouve par exemple, en posant p (J-) = 1 



CO 00 



jsmxdx=l, lcosxdx = 0, 



0 0 



parce que 



Im sin X = Im cos x = 0. 



