Sur une application des fonctions permutables 9 



Supposons que toutes les fonctions p{z, \l) dans notre ensemble soient de la 



forme 



Deux fonctions quelconques et pg de cette forme sont permutables de pre- 

 mière espèce. On a en effet 



z z 

 En ce cas notre définition de la limite moyenne prend donc la forme 



1^ 



Im ^{pc) = lim « 



Z' — >■ ce [J.I — > ce 



a 



p étant une fonction qui satisfait aux conditions que nous venons d'indiquer. 

 On peut par exemple poser p(^) = — . On trouve alors 



H- 



Im Uz) = lira -; Uz) — . 



lo£ u. s 



z—*- CD U.I — >- 00 ^ ^ •> 



Si l'intégrale 



1 



0 



est convergente on peut, sans diminuer la généralité, supposer que cette intégrale 

 soit égale à un. Notre théorème s'énonce donc comme il suit. Soit p(5') une fonc- 

 tion positive dans l'intervalle 0 ■< 2 <C 1 et telle que 



1 



jp{z)dz=l. 

 0 



La limite moyenne 



1 



Im '!^{z) = lim / [j{e)<^{2, [L)dz 



Z< — >- ce [J.I — >- oc 0 



est indépendante de la fonction p(^) . 



2 



