I. 



Abbildung eines vierdimensionalen Raumes auf einen Raum 



der drei Dimensionen. 



1. Durch fünf Gleichungen 



= 0, 

 = 0, 

 = 0, 

 = 0, 

 = 0 



(<J', ?/, (J, li , iTg, 3?3, , ^2 , ) 



(A) i\ ( 



FA 

 FA 



zwischen den Flächenelementen [z x y p q), [z' x^ Py p^' p^) zweier Räume 

 und jR^ von den Dimensionszahlen drei bez. vier wird eine Transformation 

 zwischen den Figuren dieser Räume begründet, die schon deshalb der Aufmerksam- 

 keit verdient sei, weil sie die durch vier Gleichungen 



Fi{s, X, ij, p, q,' e', x\ y' , p\ g') = 0, i=\, 2, 3, 4, 



bestimmte Transformation zweier Räume der drei Dimensionen einschliesst, die, im 

 Band 17 der Math. Annalen S. 311—313 (1880) zuerst behandelt, sich bald für 

 die Geometrie von Bedeutung erwiesen hat. 



Die obigen Gleichungen (A) ordnen jedem Flächenelement [s' x^ x^ f^) 

 ein Flächenelement [z x y p q), dagegen jedem x y p q) eine Schar von zweifach 

 unendlich vielen Elementen [s x^^ x^ x^ p^' p^' p^) zu, die aber im allgemeinen keine 

 bestimmen, d. i. keine solche von oo^ Elementen zusammengesetzte Mannigfaltig- 

 keit, für deren unendhch benachbarte Elemente {s Xi pi'), + dz' xi äxipl -j- dpî) 

 gilt, dass immer 



äz' =Pi' äXy^ -\- p^ äx^ -f- p^' dx^ . 



ist, oder nach der Ausdrucksweise Lies, dass sie vereinigt liegen. Die Elemeritenschar, 

 von der hier die Frage ist, die einem [z x y p q) entspricht, setzt sich im allgemeinen 

 zu Go^ von einander getrennten Streifen, getrennten M^, MannigfaltigJceiten bloss einer 

 Dimension, zusammen. 



2. Es gilt weiter von jener Transformation (A), dass jeder Fläche (5' =/(i(:;, «/)) 

 des ein System von drei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung des 



