Zur Transformationstheoi'ie partieller Diö'erentialgleichnngen zweiter Ordnung 



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entspricht, das nach bekannten Sätzen — wie jedes derartige System * — ein aus 

 ziveifach unendlich vielen M.^ bestehendes allgemeines Integral besitzt, das als Hülle 

 je einfach unendlich vieler dieser jede andere lutegral-ilfa desselben Systems 

 liefert. Es ist nämlich immer möglich jedes solche Gleichungssystem derart auf eine 

 Ebene R^' zu beziehen, dass einem jeden Punkte sowie jeder Kurve dieser Ebene 

 eine Integral-ilfg des Gleichungssystems und auch jedem Linienelemente von E^' 

 ein charakteristischer Streifen desselben Systems entspricht, der für co"^ Integral- 



desselben einen gemeinsamen Berührnngsstreifen ausmacht, — woraus nun un- 

 mittelbar das eben Gesagte seine Bestätigung findet. Ausnahmsweise kann es 

 eine besondere hitegral-Jfj unseres Gleichungssystems geben, die als Hülle sämt- 

 licher erst erwähnten go^ Integral-Mg aufträte. Sie tväre als singulare Lösung des 

 Systems ztt betrachten. Sie tväre auch die eiiisige des R^, die ein volles Bild aller 

 Teile der Fläche s=f{x,p) abgeben könnte. Aber eine derartige singuläre Lösung 

 tritt nur in Ausnahmefällen auf. 



Vor allen des zeichnen sich jene nicht-singulären hitegral-lZ^^ be- 

 sonders dadurch aus, dass jeder anderen beliebig genommenen desÜ^ eine 

 Schar von einfach unendlich vielen Streifen des R^ entspricht, die nicht auf ein 

 und derselben Fläche z = f{x, y) gelegen sind. 



3. Von jeder des gilt, dass ihr ein Paar von partiellen Differential- 



gleichungen erster Ordnung des R^ entspricht. Wenn eine durch ihre Gleichungen 



gegeben ist, finden wir die Gleichungen der entsprechenden Konfiguration des R^ 

 durch Elimination von x^, x.^, x^ aus den fünf Gleichungen 



(A') F,(,,x,y,p,qJ, x„ x„ x„ = 0, i=],2,..b. 



Es seien 



(2) F^' {s, X, y, i>, et) = 0, jP; x, y, p, q) = 0 



die so erhaltenen zwei Endgleichungen. Ich gebe ihnen die Suffixe 4, 5, weil ich 

 mir die drei ersten der Gleichungen (A') neben den Gleichungen (1) zur Bestimmung 

 der Werte von 0', p^', p^, p^, x^, angewandt denke, um sie nachher in die zwei 



letzten (A') einzutragen und so zu den gesuchten Gleichungen zu gelangen. 



Ausnahmsweise könnten die so erhaltenen Gleichungen (2) eine Integralfläche 

 oder sogar od^ Integralflächen gemeinsam besitzen. Im letzteren Falle würden die 



* Siehe meine Abhandlungen: Üier Syste^ne partieller Diferentialgleiclmmjeii erster Ordnung, 

 Math. Ann. Bd. 11 (1876),- S. 428—431 und: Über mehrdeutige Flächentransformationen, K. Sv. 

 Vet.-Akad. Handl. Bd 50, N:o 4 (1912). 



