6 A. V. Bäcklund 



Gleichungen involutorisch sein, so dass für alle diesen Gleichungen gemeinsam an- 

 gehörenden Wertsysteme von x, y, p, q 



(3) [F: F,'] = 0 



ist *. Fragen wir wie des näheren die Gleichungen (1) eingerichtet sein müssen, 

 damit die Formel (3) bestände, so scheint es vorteilhaft wie folgt zu rechnen. 

 Man hat** 



(4) f: f^] = [F, F^] + ^ [X, F,'] 4- ^ k f;j + K n'] 



wobei 



lcll\ clF,_dF\ dF,. 

 \ dx^ dx^ dxg dxj ' 



dF, 8F, , ,8F, 8 F, , 8i^A- , , 8^, , , 8^ / 



dxi ^Xi ' 8/ ' 8/7/ ' " ' 8;>,'" " ' 8^3" -'"""' 8^,«8^c/ 



Denn es ist F^ = JF^ und FJ = jF^, nachdem statt Xy, x^, x^ ihre in der oben 

 angegebenen Weise aus (1) und den Gleichungen Fy = 0, F^ = 0, F^ = 0 herge- 

 leiteten Werte in F^ bez. F^ eingetragen worden sind. Und in derselben Bezeich- 

 nung haben wir F/, F/, Fg' identisch null. 



Aus diesen Gründen wird nun auch [Fj'F,]=0, [F^' Xm] = 0 usw. und 

 deshalb 



(6) [F, F-] = 0 = [F, F,] + ^ [F, X,] + ^ [F, x,] + [F, x,], i = 1, 2, 3. 



tliÅ/-^ (A/r/y^ CviX-g 



Wenn wir die Funktionaldeterminante dreier beliebiger der fünf Funktionen 

 Fi, etwa Fl, F,n, F„, d. i. die Determinante 



^'-^ [ dx j dp ^\ dy I dq [ 8^ I dp 



8^' 8f;\8f; 



dy ' ^ 8^ ; 82 ■ 



Aber wo später die Bezeichnung [Fm Fn] mit nnakzentuierten F vorkommt, ist kurz 



r^, IdFrr, , d F,A d Fn , (dF,u , d F,n\ d Fn (d Fn , B Fn\ d F„, (d Fn , 8 8 /''» 



zu setzen, wenn hierbei nach y, z, p, q differentiiert wird nur wie sie explizite in Fm, Fn auftreten, 

 nicht auch wie sie wegen (1) implizite in z',Xi,pi enthalten sind. 



** Wenn F, tp„ tpj, ...Funktionen von z,x,y,p,q sind und <& irgend eine Funktion von 

 tfi, tp2» ••• bedeutet, kommt nämlich 



8* 8<]> 



