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A. V. Bäcklund 



i (IF (IF (IF (îlF\ Id 

 (123) [F, X,] = [F, F,]\^ ^-'^ ^ - [F, F,] ^ 



(123) [F, = [F, F,] ^' - ^ 1^) - IF. F,] 1^ '-^ - ÉIl 



dF, 



dF^ 



dF, 









dF, 



dF^ 



dF, 





doc 2 





ist und daher 



nach (9). 



(UV) 



(123) [x, x,\ 



und natürlich 



auch 



(10") 



(123)_K,^3] 



(10"') 



(123) [^^,.^3] 



^ V'. ^ [F, F,] + ^ [F, F,] 



dF, , dF„ ^„ ^\ . dF. 



Durch Substitution in (4) von (8) und (10) bekommen wir dann schliessHch 



(1 1) (123) [F; f.:] = (123) [F, F,] + (124) [F, F,] + (125) [F, F,] + (134) [F, F,] + 



+ (13Ö) [i^, F,] + (145) [F, F,] + (234) [F, F,] + (235) [F, F,] + 



+ (245) [i^3 i^J + (345) [F,F,]. 



Hier ist bei den für die Bildung von (/ m n) vorgeschriebenen Differentiationen 

 ^, X, y, p, q, dagegen bei [F,n Fn] die Grössen z', x^, x^, Xj, p^' , p^' als Konstan- 

 ten zu behandeln. 



Die InvolutionsbezieJmng (3) drücht sich demnach einfach durch die Gleichung 



(12) S m [F™ Fn] = o 



aus, wobei /, k,l,m,n die Zahlen 1, 2, ... 5 bedeuten, zwar . in einer beliebigen 

 Reihenfolge genommen, dies jedoch so dass man von einem beliebigen Glied der 

 Summe zu jedem anderen derselben Summe durch Vertauschung der Suffixe 1, 2, ... 5 

 gelangt bloss man bei der Vertauschung je zweier dieser Zahlen auch das Zeichen 

 ändert; z. B. von (123) [^'^ i^j] aus kommt man zu — (124) [Fg i^^] = (124) [J's j^s] 

 und weiter zu — (154) [F^ F^] = (145) [F^ F^] und zu allen anderen Gliedern 

 von (12). 



4. Dieselbe Form der Involutionsbedingung \F^' F^'] = 0 gilt auch für die durch 

 fünf Gleichungen zwischen den Flächenelementen 



(^ x^ x^ x^ p^ P2 p^), X^ p^ P2 P3 ) 



zweier definierte Transfoi-mation ihrer Ich habe die betreffende Form * 



früher und auf wesentlich dieselbe Weise in meiner Abhandlung Uber mehrdeutige 

 Fiächentnmsformationen in Bd. 50 der k. Schwedischen Akademie der Wissenschaf- 

 ten entwickelt. Siehe Gl. (10) S. 70 daselbst. 



* d. i. (12) mit {ild) auf It^ (z' x'), [Fm. Fn] auf -B^ (z x) bezogen und hierbei 



f^"' = X {( 8^ ^jä^ - ("ä^ -37) ^1 • 



