Zur Transformationstheoiie paitiellor Difïereiitialgleiclningen zweiter Ordnung 9 



5. In die obige Gleichiiug (12) gehen 



^, X, y,p, q, s, ,r,, x^, x^, Jh' ' P2' ^ Ps' ^ Pn'^ Pv/^ ■■■Pa' 

 als Veränderliche ein. Sie ist dalier in als eine partielle Differentialgleichung 

 von der ersten Ordnung für z und in als eine partielle Differentialgleichung von 

 der zweiten Ordnung für z' zu bezeichnen. Eine Elimination von z, x, ij, p, q aus 

 den sechs Gleiçhungen {12) und (A) führt zu einer partiellen Differentialgleichung der 

 sweiten Ordnung für z , deren Integral-M^ 



(13) g' =f{x^, x^, x^), pk = pki' = ^ ''^ 



je eine Schar von co^ Flächen in zu Ebenbildern haben. Letztere werdeti aus den 

 zivei Gleichungen (2), die sich aus {Å) und {13) durch Elimination von x^, x^, x^ erge- 

 ben, durch Integration erhalten. 



Jeder dieser Flächen des entsprechen in nur zweifach unendlich viele 

 von den Flächenelementen (13), so dass unter den od* Elementen {z'xip/), die 

 in R^ ihren Elementen [z x y p q) nach Nr. 2 entsprechen, es nur go^ gibt, die eine 

 auf (13) gelegene bilden. Diese M.^ sind ausserdem sehr speziell. Es geht freilich 

 durch eine beliebig genommene imnjer eine Integral-Jfj unserer partiellen Diffe- 

 rentialgleichung der zweiten Ordnung des R^, und diese wird, wie erklärt, sich in 

 i?3 als eine ganze Flächenschar z= f{x, y, X), \ eine arbiträre Konstante bezeichnend, 

 abbilden. Aber weil andrerseits jedem Elemente (/ Xi pî) nur ein Flächenelement 

 {z X y p q) entspricht, kann jene beliebig genommene keine Fläche, sondern 

 nur eine Schar von oo^ von einander getrennten Streifen, nämlicli auf je einer der 

 Flächen z—f[x, y, X) einen Streifen, ei'geben. Vgl. Nr. 2. Eine der oben ange- 

 gebenen speziellen Art würde dagegen in R^ eine Streifeuschar zum Ebenbilde ha- 

 ben, die eine Fläche z=f[x,ij, X^) ganz überdeckte, wie es mit allen der Fall 

 ist, die als Lösungen der in Nr. 2 erörterten Systeme dreier partiellen Differential- 

 gleichungen erster Ordnung auftreten. 



Weil ferner eine jede Fläche des ^300" solche spezieller Art ergibt, und 

 durch jede dieser wenigstens eine hitegral-Jfg der partiellen Differentialgleichung 

 2. 0. des R^ durchgeht, und dieser eine einfach unendliche Flächenschar des 

 i?3 entspricht, so muss jede Fläche des R^ unendlichfach unendlich vielen Flächen- 

 scharen angehören, die je eine zu Ebenbildern in R^ besitzen. 



Unsere partielle Differentialgleichung 2. 0. besitzt auch Mannigfaltigkeiten M^, 

 die unendhch vielen Integral-ilfg der Gleichung gemeinsam sind. Sie werden Be- 

 rührungsmannigfaltigkeiten zweier Dimensionen der Integral-ilfj der Gleichung und 

 sind für diese Gleichung als charakteristisch zu bezeichnen. Durch jede einer 

 vorgelegten Integral-ilfj geht eine auf derselben verlaufende charakteristische 

 M^*. Sie hat in R^ als Ebenbild eine Schar von go^ Streifen, einen auf je einer 



* Dies geht aus meiner Abhandlung Zur Theorie der Charakter istihen usw., Math. Annalen 

 Bd. 13 S. 417 hervor. Vgl. auch meine Abhandlung in Math. Ann. Bd. 40 S. 241—245. 



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