10 A. V. Bäcklund 



der co^ Flächen, die der Integral-ilfg entsprechen. Diese Streifenschar gehört nun 

 auch uneudhch vielen anderen Flächenscharen in an, denen ebensoviel andere 

 Integral-iüfg unserer Gleichung 2. 0. in entsprechen. Als derartige Berührungs- 

 streifen nehmen sie vor denjenigen Streifen, die einer anderer Art des ent- 

 sprechen, eine ausgezeichnete Stellung ein. 



II. 



Wie bei dem Vorstehenden eine partielle Differentialgleichung 

 erster Ordnung des abgebildet wird. 



6. Wenn zu den fünf Gleichungen (A) beliebig eine sechste Gleichung 

 (B) [s. .r, p, g, .x^, .Tg, ]\ j)/, p^') ^ 0 



hinzugezogen wird, und die Gleichung 

 (1.4) ^ (2, x^, x^, x^, p^', p^', pg') =0 



durch Elimination von ^, x, y, j), q aus (A) und (B) hervorgeht, so haben wir durch 

 die Gleichungen (A) und (B) eine Transformation der Integrale der partiellen Diffe- 

 rentialgleichung erster Ordnung <ï> = 0 bestimmt. Eine Integral-M^ letzterer Gleichting, 

 die zufälligenveise auch der oben besprochenen partieUen Differentialgleichung 2. 0. des 

 R^ genügte, tviirde in R^ eine ganse Schar von oc^ Flächen [s = f{x, y, X)) zum Eben- 

 bild haben. Sonst wäre von den Integral Jfg von <î> = 0 wesentlich nichts mehr als 

 von anderen des R^ zu sagen. 



Wenden wir indes auf (A) und (B) eine Berührungstransformation des R^ an, 

 bei der mit Z, A"^, ... P3 die neuen Veränderlichen bezeichnet werden und 



X^=(^ (/, x^, x^, X3, p.^', p^) 



die eine der Gleichungen dieser Transformation ist, so können wir unsere Trans- 

 formation (A), (B) unter der Form 



(A) (B) = 0, P, X, y, p, q, Z, X„ X,, P„ PJ, 



Ms, X, y, p, q, Z, X„ X3, P,, P3) = 0, t= 1, 2, 3, 4, 



bringen und sie dann vorzüglich als eine Transformation zweier dreidimensionalen 

 Räume (x, y, s), [X^, X^, Z) behandeln und doch hierbei den oben gegebenen Regeln 

 genau folgen, indem wir sie auf die fünf Gleichungen 



(1 5) . fi [s, X, y, p, q, Z, X„ X„ P„ P3) =^0, t=\, 2, 3, 4, f, = X,--=0 



anwenden und für diese wie oben für (A) eine Gleichung (12) aufstellen. 



