Zur Transformationstheorie partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung 



Zu dem Zwecke bemerken wir erstens, dass von den [fmfn\, die in (12) auf- 

 geschrieben stehen, diejenigen wegfallen, die /g enthalten *, und zweitens dass 



ist**). Für die Transformation (15) lautet folglich die Gleichung (12): 



(16) (12) [/3/J + (13) {/,/,] + (14) [/,/,] + (34) [fj,] + (42) \fj,] -f (23) [/;/J = 0. 



Das ist dieselbe Gleichung die ich früher in meiner Abhandlung in Bd. 17 

 der Math. Annalen entwickelt und auch für die von vier Gleichungen 



fi{z, X, p, p, q, 3\ x\ y', x>', q) = 0 



begründete Transformation zweier Räume [x y 2), [x y s) als eine Hauptformel dar- 

 gestellt habe. Aher ans dieser Gleichung iverden x, y, 0, p, q im cdlgemeinen nicht ver- 

 mittels bloss der fünf Gleichungen (15) entfernt. Um dann zur Kenntnis der Flächen 

 in (Xg, X3, Z) zu gelangen, denen Flächen in [x, y, z) entsprechen, müssen wir jene 

 Gleichung (16) als eine neue Gleichung unseren früheren (15) zufügen. Die neue 

 Gleichung ist von der ersten Ordnung in (rr, y, z), wie auch die vorigen es sind, 

 aber in (X^, Xg, Z) ist sie in Gegensatz zu ihnen von der zweiten Ordnung. Sie 

 lässt sich doch in derselben "Weise behandeln wie eine der früheren (A), wenn es 

 nur von der Bestimmung der Flächen in (X.,, X3, Z) handelt, denen Flächen in 

 [x, y, s) entsprechen. Es gilt nämlich von der Transformation 



(A") Fi[z, X, ij, p, q, z\ x^, a^g, x^,p^, p.2,p^, p^^ , p^./, ■■•Pss) = 0, ï = 1, 2, . . 5, 



wobei 



P )•/,■ = 



dXi dXi: 



ist, dass für eine jede im Räume {x^, '), der eine Schar von go^ Flächen 



in {x, y, s) entspricht, eine der vorigen Gleichung (12) analoge Gleichung 



(12') ^[ikl)[F,,Fn]^0 



erfüllt wird. Die in der Funktionaldeterminante [ikl) steckenden ersten Derivierten 

 von F 



dF dF . , 8Fi , „ , dF . ^ , dF 

 -XT ^ ^ + + ^ ^ ^ + ^^^""^ ^ 



UXi o^f-i O* m OJJm mn OJJmn 



werden hier von der dritten Ordnung in z\ weshalb jetzt die Elimination von 

 X, y, z, p, q aus (A") und (12') eine partielle Differentialgleichung der dritten Ord- 

 nung für s' ergibt, wenn von Spezialfällen abgesehen wird. 



äfi _ _df<_ I p Ml _l p Ml 4_ p Ml 



