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A. V. Bäcklund 



Die vier ersten der Gleichungen (15) setzen sich mit der Gleichung (16) zu 

 .einem solchen Gleichungssysteme wie (A") zusammen, das jedoch insofern sehr 

 speziell ist, dass darin x^, p^' ■ und alle fehlen *. Auch wird jetzt die Gleichung 

 (12') nur eine Wiederholung von (16). Aber wenn wir die linke Seite letzterer Glei- 

 chung mit /g bezeichnen und in den vier Gleichungen 



fi{2, X, ij, p, q, z , x\ y\ p, q) = 0, ^■ = 1, 2, 3, 

 /-(^, X, y, p, q, s', x', y\ p', q\ r' , s' , t') = 0, 



(wobei mit r' , s' , t' die zweiten Derivierten d^z' /dx'^, d'^z'/dx' dy', d^^'/dy'^ bezeichnet 

 sind) eine gegenseitige Transformation der zwei dreidimensionalen Räume [x y z] 

 und [x y z) erblicken, soll unser erster Schritt zur näheren Kenntnis des Inhalts 

 dieser Transformation in der Aufstellung der hierzu gehörenden Gleichung von der 

 Form (16) bestehen, das wird hier 



(17) (12) [/3/J + (13) \fj,\ + (15) {fj,\ + (35) + (52) \fj,\ + [^^lUÅ = 0- 



Nach dem w^as oben von (A") gesagt wurde, ist diese Gleichung aus (16) durch 

 blosse Vertauschung von 4 mit 5 zu gewinnen, 'aber es ist 



dx dx''^' dz dl' dq\dy' dy dz dp' dq" 



âx dx dz dp dq 'di- ^ ds ^ dt 



dy dy ^ ^ dz dp dq ^di- ^ ds \ ^ dt 



wobei mit s^, ... die dritten Differentialquotienten von z\ also d^z' jdx'^, ... d^z' jdy'^, 

 bezeichnet sind. 



Eine blosse Vertauschung von 3 mit 4 in der Gleichung (17) verwandelt diese 

 in eine neue Gleichung, die, ebenso wie die Gleichungen (16) und (17), der von 

 den vier Gleichungen 



(18) fi[z, x, y, p, q, z\ x\ ij\ p', q) = 0, ^■ = 1, 2, 3, 4, 



begründeten Transformation der Räume {x y z) und (aj' .^') eng angehört. Aus (16) 

 haben wir also zwei Gleichungen hergeleitet, von denen (17) die eine ist und die 

 andere daraus durch Vertauschung von /g mit hervorgeht. Beide werden von 

 der dritten Ordnung in und wir können nicht durch weitere Zifîervertauschungen 

 neue hiervon verschiedene Gleichungen 3. 0. erlialten. Wir verstehen dies leicht, 

 wenn wir uns die Verfahrungsweise der Nr. 3 auf die vorliegende Transformation 



(18) angewandt denken. Indem wir nämlich unter 



(19) e'=f(x',y') 



* z', Xi, pi', p'mi statt Z, Xi, Pi, Pmi gesetzt. 



