Zur Tiansfoi-inationstheorie partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung 13 



die Gleicbuug der allgemeiiisteu Fläche in {x y' z') verstehen, der eine Fläche in 

 {x y z) entspricht,! setzen wir in die Gleichungen (18) statt z\ p\ q die Werte 

 /. /'(^')> f{y') ein, wenden sodann die zwei ersten dieser Gleicliungen: J\ =.Q,f^ = 0, 

 zur Bestimmung von x' , y' in Funktion von x, y, z, p, q an und führen schliesslich 

 diese x', y'-Werte in = 0, = 0 ein. Diese Gleichungen bekommen dadurch 

 die Formen 



fs'{z, X, y, 2), q) = 0, //(^, X, y, p, g) = 0 

 und die Gleichung (16) die Form 



[/;/;] = 0. 



Um abzukürzen setze ich [/g'/*'] = /s' finde dann [/s'/s'l — ^ luit (17) und 

 [fifs,'] = 0 mit der aus (17) durch Vertauschuug der Ziffern 3 und 4 hervorgehen- 

 den Gleichung äquivalent. Die Bedeutung der zwei letzterwähnten Gleichungen als 

 Deri vierten von (16) ist hierdurch klargelegt und damit auch ihr Charakter von 

 Vollständigkeit bezüglich unserer Transformation (18) als Gleichungen 3. 0. für z 

 erwiesen worden. Sie werden explizite als derartige Gleichungen gefunden durch 

 EHmination allein von z, x, y, p, q aus (18), (16)*, (17) und der erwähnten hieraus 

 durch Ziffervertauschung entstandenen Gleichung. 



Die angenommene Fläche (19) müsste selbstverständlich Integral dieses Glei- 

 chungspaares 3. 0. 



(20) [/3'/5'] = o, [/;/5'] = o 



sein. 



Dass diese Gleichungen (20) Integralflächen gemein haben, ist aber noch zu 

 beweisen. Zu dem Zwecke wird es vorteilhaft, von der sj'mbolischen Form unserer 

 Gleichungen eingehenden Gebrauch zu machen und auch die Auflösung der fünf 

 Gleichungen = 0, f2 = 0, . . = 0, d. i. (15), (16) nach x,y,z,p,q statt dieser 

 Gleichungen selbst in Rechnung zu tragen. Wir setzen dann 



/i = — (/, x', y\ p', q, r\ s', t'). f^ = y — {z\ x\ tj' , p\ q , r' , s', t'), 



f3=p — fsi^', y', 'p\ q'^ i')> fi^9 — 9i{^'' p'^P' ^')' 



f^ = z — 95(/, x', y',p\ q, s', t'), 

 wobei (16) die Form bekommt: 



(a) (/,=)-(13) +(42) = 0, 

 (17) die Form: 



(b) ([/375']=)-(12)^3 + (52) = 0, ■ 

 und die zweite (20) die Form: 



([/;/5'i=)-a2)'f, + (i5) = o. 



Nach Einführung der Werte der Symbole (52), (15), (12), wobei es wird 



(52) = ^ ^ usw., 



dx' dy' dy' dx 



* Statt Z, Xj, X, usw. z', x', y' usw. geschrieben. 



