14 A. Y. Backlund 



und einfacher Elimination finden wir folglich für das Gleichungspaar (20) die Form: 



^ ' dij' dy' ^ dij 



und schliessen hernach aus (b'), dass 



c?a?' c^?/' cte' rfy' dx dy' ' ^ c?.-»?' ' ^ cte' c7?/' 



und aus (c'), dass 



ö!?/' (/x' d7j' dx ^ dy' dx' ^ ''^ dy' dx ^ dy' dx 

 ist. Also finden wir 



dx dy' dy' dx 



welch letzteres nach (a) null ist. Daraus folgt von (b'), (c') und damit von den in 

 Frage stehenden Gleichungen 3. 0. (20), dass sich ihre ersten Derivierten in bezug 

 auf x' , y auf nur drei von einander unabhängige Gleichungen reduzieren, d. i. 

 dass sie nur auf drei Gleichungen für die fünf Differentialquotienten s^*, z^, Sg*, s^*-, 

 der vierten Ordnung von z führen. Nochmalige Differentiationen derselben Glei- 

 chungen ergeben dann nur vier Gleichungen für die sechs Differentialquotienten 

 £^^, £2^) ••• fünften, nur fünf für die sieben Differentialquotienten Sj^, e^^, . . 



der sechsten Ordnung von 3 usw., stets eine um 2 geringere Zahl von Gleichungen 

 als durch sie zu bestimmenden Differentialquotienten von z , die Integralflächen des 

 Gleichungspaares (20) augehören würden. Hieraus folgt die Existenz derartiger Inte- 

 grale. Auch ist hieraus weiter zu schliessen, wie ich zeigen werde, dass es deren 

 so viel gibt, dass durch einen beliebigen Streifen nicht weniger als 00^ derselben 

 hindurchgehen. 



Die Gleichungen eines .Streifens 



(d) z =f{x'), y' = 9(a;'), q" = '\[x') 

 ergeben zu jedem Punkte des Streifens einen Wert von p: 

 (d') V' -^W)'?' [oc')=f[x'). 



dagegen für die zweiten- Differentialquotienten r', s', t' von s' unendlich viele Wert- 

 systeme : 



(e) r' -f s' (p' {x') — dp' jdx, s + /' 'ç [x] — dq'/dx', 



ferner zu jedem dieser Wertsysteme oo^ Wertsysteme der dritten Differentialquotienten 

 [si^) von z', zu jedem dieser oo^ s'^i usw. Fügen wir noch die Gleichungen (20) und 

 ihre Derivierten hinzu, so finden wir zunächst aus jenen (20) selbst und den von 

 dem Streifen gelieferten drei Gleichungen für die vier s/, durch Elinaination dieser 

 £i^, mit Rücksicht auf (e) und (d') eine den Wertsystemen von s', t' angehörende 

 Gleichung 



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